Номер 8.4, страница 84, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.4. 1) Найдите число четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 6, 7, 8, 9, при условии, что ни одна цифра не повторяется дважды.

2) Найдите число способов раскрасить треугольник, круг и квадрат тремя различными цветами: синим, красным, желтым.

3) Найдите число способов распределения семи мест среди 7 участников соревнований.

1) Эта задача заключается в нахождении количества перестановок из 4 различных элементов (цифр 6, 7, 8, 9), так как нужно составить четырехзначные числа без повторения цифр. Число перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$.
На место тысяч можно поставить любую из 4-х данных цифр.
На место сотен — любую из 3-х оставшихся цифр.
На место десятков — любую из 2-х оставшихся цифр.
На место единиц — последнюю оставшуюся цифру.
Общее число комбинаций равно произведению числа вариантов для каждой позиции:
$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
Таким образом, можно составить 24 различных четырехзначных числа.
Ответ: 24

2) Необходимо найти число способов раскрасить 3 разные фигуры (треугольник, круг, квадрат) в 3 разных цвета (синий, красный, желтый). Каждая фигура должна иметь свой уникальный цвет. Это задача на нахождение числа перестановок.
Первую фигуру, например, треугольник, можно раскрасить одним из 3-х цветов.
Вторую фигуру, круг, можно раскрасить одним из 2-х оставшихся цветов.
Третью фигуру, квадрат, можно раскрасить последним оставшимся цветом.
Число способов равно числу перестановок из 3 элементов:
$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
Существует 6 способов раскрасить фигуры.
Ответ: 6

3) В данном случае требуется найти количество способов, которыми можно распределить 7 призовых мест между 7 участниками. Поскольку все участники и все места различны, эта задача сводится к нахождению числа перестановок из 7 элементов.
Первое место может занять любой из 7 участников.
Второе место — любой из 6 оставшихся.
Третье место — любой из 5 оставшихся, и так далее.
Общее число способов распределения мест равно числу перестановок из 7:
$P_7 = 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$.
Существует 5040 способов распределить места.
Ответ: 5040