Номер 8.6, страница 84, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.6. Решите уравнение:

1) $A_x^1 = 2$;

2) $A_x^1 = 2x$;

3) $A_x^2 = 2x$;

4) $A_x^2 = 3x + 12$.

Для решения данных уравнений используется формула числа размещений из $x$ элементов по $k$: $A_x^k = \frac{x!}{(x-k)!}$. Важным условием является область определения: $x$ должен быть целым числом и $x \ge k$.

1) $A_x^1 = 2$

По определению, $A_x^1 = \frac{x!}{(x-1)!} = x$.

Уравнение принимает вид: $x = 2$.

Область допустимых значений для $A_x^1$ — $x$ целое, $x \ge 1$. Корень $x=2$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: $2$

2) $A_x^1 = 2x$

Используя формулу $A_x^1 = x$, получаем уравнение: $x = 2x$.

Решая это уравнение, получаем $x=0$.

Однако, область допустимых значений для $A_x^1$ требует, чтобы $x \ge 1$. Поскольку $0 < 1$, корень $x=0$ не является решением исходного уравнения.

Ответ: нет решений

3) $A_x^2 = 2x$

Формула для числа размещений по 2: $A_x^2 = \frac{x!}{(x-2)!} = x(x-1)$.

Подставляем в уравнение: $x(x-1) = 2x$.

Область допустимых значений: $x$ — целое число, $x \ge 2$.

Решаем уравнение:

$x^2 - x = 2x$

$x^2 - 3x = 0$

$x(x-3) = 0$

Корни уравнения: $x_1=0$ и $x_2=3$.

Проверяем корни по области допустимых значений. $x_1=0$ не удовлетворяет условию $x \ge 2$. $x_2=3$ удовлетворяет условию $x \ge 2$.

Ответ: $3$

4) $A_x^2 = 3x + 12$

Используем формулу $A_x^2 = x(x-1)$.

Уравнение принимает вид: $x(x-1) = 3x + 12$.

Область допустимых значений: $x$ — целое число, $x \ge 2$.

Решаем уравнение:

$x^2 - x = 3x + 12$

$x^2 - 4x - 12 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 4$, $x_1 \cdot x_2 = -12$. Корни: $x_1=6$ и $x_2=-2$.

Проверяем корни по области допустимых значений. $x_1=6$ удовлетворяет условию $x \ge 2$. $x_2=-2$ не удовлетворяет условию $x \ge 2$.

Ответ: $6$