Номер 8.7, страница 85, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.7. 1) Найдите число способов выбора старосты и физрука класса из 20 учащихся.

2) Найдите число способов выставления двум учащимся одной из отметок ${3, 4, 5}$.

1) В данной задаче необходимо выбрать двух учащихся из 20 на две различные должности: старосту и физрука. Поскольку должности различны, порядок выбора имеет значение. Это означает, что выбор ученика Иванова на должность старосты и ученика Петрова на должность физрука является одной комбинацией, а выбор Петрова на должность старосты и Иванова на должность физрука — другой.

Такой тип задач решается с помощью размещений без повторений или по правилу умножения.

1. Способ с использованием правила умножения:
На должность старосты можно выбрать любого из 20 учащихся. Таким образом, есть 20 способов.
После того как староста выбран, на должность физрука остается 19 учащихся. Следовательно, есть 19 способов выбрать физрука.
Общее число способов равно произведению числа способов для каждого выбора: $20 \times 19 = 380$.

2. Способ с использованием формулы размещений:
Число способов выбрать и разместить $k$ элементов из множества $n$ элементов называется числом размещений и вычисляется по формуле: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
В нашем случае $n = 20$ (общее число учащихся), а $k = 2$ (количество должностей).
$A_{20}^2 = \frac{20!}{(20-2)!} = \frac{20!}{18!} = \frac{18! \times 19 \times 20}{18!} = 19 \times 20 = 380$.

Ответ: 380

2) В этой задаче нужно найти количество способов выставления оценок двум учащимся. Каждому из них можно поставить одну из трех оценок: {3, 4, 5}. Оценка, выставленная одному учащемуся, не влияет на оценку, которую получит другой.

Для первого учащегося существует 3 возможных варианта оценки (3, 4 или 5).

Для второго учащегося также существует 3 возможных варианта оценки (3, 4 или 5).

Согласно правилу умножения, общее число способов равно произведению числа вариантов для каждого независимого события. Таким образом, общее число способов выставить оценки двум учащимся равно:

$3 \times 3 = 9$.

Такой тип задач относится к размещениям с повторениями, где число вариантов вычисляется по формуле $n^k$, где $n$ — количество вариантов для каждого элемента (в нашем случае, оценок), а $k$ — количество элементов, для которых делается выбор (в нашем случае, учащихся).
$n = 3$, $k = 2$.
Число способов: $3^2 = 9$.

Ответ: 9