Номер 8.9, страница 85, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.9. Решите уравнение:

1) $A_x^2 = 20$;

2) $P_x = 24$;

3) $A_x^2 = x(x - 1)$.

1) $A_x^2 = 20$

Число размещений из $x$ элементов по 2, обозначаемое $A_x^2$, определяется по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ при условии, что $n$ — натуральное число и $n \ge k$. В данном случае $n=x$ и $k=2$, поэтому $x$ должен быть натуральным числом и $x \ge 2$.

Упростим выражение для $A_x^2$: $A_x^2 = \frac{x!}{(x-2)!} = \frac{x \cdot (x-1) \cdot (x-2)!}{(x-2)!} = x(x-1)$.

Подставим это в исходное уравнение: $x(x-1) = 20$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение: $x^2 - x = 20$ $x^2 - x - 20 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{81}}{2} = \frac{1 + 9}{2} = 5$. $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{81}}{2} = \frac{1 - 9}{2} = -4$.

Согласно области определения, $x$ должен быть натуральным числом и $x \ge 2$. Корень $x_1 = 5$ удовлетворяет этому условию. Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет, так как не является натуральным числом. Следовательно, решением является $x=5$.

Ответ: 5

2) $P_x = 24$

Число перестановок из $x$ элементов, обозначаемое $P_x$, определяется по формуле $P_x = x!$. По определению, $x$ должно быть целым неотрицательным числом ($x \in \{0, 1, 2, ...\}$).

Уравнение принимает вид: $x! = 24$.

Найдем значение $x$ путем вычисления факториалов для малых целых неотрицательных чисел: $1! = 1$ $2! = 1 \cdot 2 = 2$ $3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$ $4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$.

Отсюда следует, что $x=4$. Это значение удовлетворяет области определения.

Ответ: 4

3) $A_x^2 = x(x-1)$

Как и в первом пункте, используем формулу для числа размещений $A_x^2 = x(x-1)$. Область определения для $A_x^2$: $x$ — натуральное число и $x \ge 2$.

Подставим выражение для $A_x^2$ в уравнение: $x(x-1) = x(x-1)$.

Данное равенство является тождеством, то есть оно верно для любого значения $x$, для которого определена левая часть ($A_x^2$). Следовательно, решением уравнения являются все числа из области определения $A_x^2$.

Таким образом, $x$ — любое натуральное число, удовлетворяющее условию $x \ge 2$.

Ответ: любое натуральное число $x \ge 2$.