Номер 8.2, страница 84, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.2. Вычислите:

1) $P_4$;

2) $P_6$;

3) $\frac{P_7}{P_5}$;

4) $\frac{P_6}{P_8}$;

5) $\frac{P_8}{P_7} + \frac{P_5}{P_6}$;

6) $\frac{P_9}{P_7} - \frac{P_7}{P_5}$.

В данной задаче $P_n$ обозначает число перестановок из $n$ элементов, которое вычисляется по формуле $P_n = n!$, где $n!$ (n-факториал) – это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно ($n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$).

1) $P_4$

Для вычисления $P_4$ используем формулу факториала:

$P_4 = 4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$.

Ответ: 24.

2) $P_6$

Аналогично, для $P_6$:

$P_6 = 6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720$.

Ответ: 720.

3) $\frac{P_7}{P_5}$

Подставим значения перестановок в виде факториалов и сократим дробь:

$\frac{P_7}{P_5} = \frac{7!}{5!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} = 6 \cdot 7 = 42$.

Ответ: 42.

4) $\frac{P_6}{P_8}$

Подставим значения и сократим. Учтем, что $8! = 6! \cdot 7 \cdot 8$:

$\frac{P_6}{P_8} = \frac{6!}{8!} = \frac{6!}{6! \cdot 7 \cdot 8} = \frac{1}{7 \cdot 8} = \frac{1}{56}$.

Ответ: $\frac{1}{56}$.

5) $\frac{P_8}{P_7} + \frac{P_5}{P_6}$

Вычислим каждое слагаемое отдельно:

$\frac{P_8}{P_7} = \frac{8!}{7!} = \frac{7! \cdot 8}{7!} = 8$.

$\frac{P_5}{P_6} = \frac{5!}{6!} = \frac{5!}{5! \cdot 6} = \frac{1}{6}$.

Теперь сложим полученные значения:

$8 + \frac{1}{6} = 8\frac{1}{6}$.

Ответ: $8\frac{1}{6}$.

6) $\frac{P_9}{P_7} - \frac{P_7}{P_5}$

Вычислим уменьшаемое и вычитаемое отдельно:

$\frac{P_9}{P_7} = \frac{9!}{7!} = \frac{7! \cdot 8 \cdot 9}{7!} = 8 \cdot 9 = 72$.

$\frac{P_7}{P_5} = \frac{7!}{5!} = \frac{5! \cdot 6 \cdot 7}{5!} = 6 \cdot 7 = 42$.

Теперь найдем их разность:

$72 - 42 = 30$.

Ответ: 30.