Номер 7.17, страница 81, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.17. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 7, \\ 3x^2 - y^2 = 9; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 2x^2 - 1 = y^2, \\ y^2 = x^2 - 0,5. \end{cases} $

1) Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 7, \\ 3x^2 - y^2 = 9 \end{cases}$

Для решения этой системы удобно использовать метод сложения. Сложим первое и второе уравнения:

$(x^2 + y^2) + (3x^2 - y^2) = 7 + 9$

$4x^2 = 16$

Разделим обе части уравнения на 4:

$x^2 = 4$

Отсюда находим два возможных значения для $x$:

$x_1 = 2$ и $x_2 = -2$

Теперь подставим значение $x^2 = 4$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $y$:

$4 + y^2 = 7$

$y^2 = 7 - 4$

$y^2 = 3$

Отсюда находим два возможных значения для $y$:

$y_1 = \sqrt{3}$ и $y_2 = -\sqrt{3}$

Каждому значению $x$ соответствует каждое из найденных значений $y$. Таким образом, мы получаем четыре пары решений:

$(2; \sqrt{3})$, $(2; -\sqrt{3})$, $(-2; \sqrt{3})$, $(-2; -\sqrt{3})$

Ответ: $(2; \sqrt{3})$, $(2; -\sqrt{3})$, $(-2; \sqrt{3})$, $(-2; -\sqrt{3})$.

2) Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2x^2 - 1 = y^2, \\ y^2 = x^2 - 0,5 \end{cases}$

Для решения этой системы используем метод подстановки. Так как левые части обоих уравнений выражают $y^2$, мы можем приравнять правые части:

$2x^2 - 1 = x^2 - 0,5$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числовые значения в другую:

$2x^2 - x^2 = 1 - 0,5$

$x^2 = 0,5$

Отсюда находим два возможных значения для $x$:

$x_1 = \sqrt{0,5} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$x_2 = -\sqrt{0,5} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь подставим значение $x^2 = 0,5$ во второе уравнение исходной системы, чтобы найти $y$:

$y^2 = 0,5 - 0,5$

$y^2 = 0$

Отсюда находим одно значение для $y$:

$y = 0$

Таким образом, мы получаем две пары решений:

$(\frac{\sqrt{2}}{2}; 0)$ и $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; 0)$

Ответ: $(\frac{\sqrt{2}}{2}; 0)$, $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; 0)$.