Номер 7.13, страница 80, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.13. Из 80 открыток на 40 изображены тюльпаны, на 20 — нарциссы, на 10 — сирень с тюльпанами, на 5 — сирень с нарциссами, на 5 — нарциссы с тюльпанами, на 10 — сирень с тюльпанами и нарциссами. Найдите число открыток с сиренью.

Для решения этой задачи используются понятия теории множеств. Введем обозначения:

• $T$ — множество открыток с тюльпанами.
• $N$ — множество открыток с нарциссами.
• $S$ — множество открыток с сиренью.

Анализ условия задачи

Из условия задачи нам известны следующие данные:

• Общее число открыток: 80. Будем считать, что все 80 открыток имеют хотя бы один из перечисленных цветков, то есть $|T \cup N \cup S| = 80$.
• Число открыток с тюльпанами: $|T| = 40$.
• Число открыток с нарциссами: $|N| = 20$.
• Число открыток с сиренью и тюльпанами: $|S \cap T| = 10$.
• Число открыток с сиренью и нарциссами: $|S \cap N| = 5$.
• Число открыток с нарциссами и тюльпанами: $|N \cap T| = 5$.
• Число открыток с сиренью, тюльпанами и нарциссами: $|S \cap T \cap N| = 10$.

Проверим корректность этих данных. В теории множеств, любое пересечение трех множеств $(A \cap B \cap C)$ является подмножеством пересечения любых двух из этих множеств (например, $A \cap B$). Следовательно, мощность (число элементов) пересечения трех множеств не может быть больше мощности пересечения двух множеств.

В нашем случае мы имеем:

• $|S \cap T \cap N| = 10$ и $|S \cap N| = 5$. Условие $|S \cap T \cap N| \le |S \cap N|$ не выполняется, так как $10 \not\le 5$.
• $|S \cap T \cap N| = 10$ и $|N \cap T| = 5$. Условие $|S \cap T \cap N| \le |N \cap T|$ не выполняется, так как $10 \not\le 5$.

Это означает, что условие задачи содержит ошибку, и в заданном виде задача не имеет решения. На диаграмме Венна это противоречие выглядит следующим образом, приводя к отрицательному количеству открыток в некоторых секциях:

Решение исправленной задачи

Наиболее вероятной является опечатка в последнем значении. Предположим, что число открыток со всеми тремя видами цветов равно 5, а не 10. То есть, $|S \cap T \cap N| = 5$. Это значение согласуется с другими данными ($5 \le 10$, $5 \le 5$, $5 \le 5$).

Итак, исправленные данные:

• $|T \cup N \cup S| = 80$
• $|T| = 40$
• $|N| = 20$
• $|S \cap T| = 10$
• $|S \cap N| = 5$
• $|N \cap T| = 5$
• $|S \cap T \cap N| = 5$ (исправлено)

Теперь мы можем найти число открыток с сиренью, $|S|$, используя формулу включений-исключений для трех множеств:

$|T \cup N \cup S| = |T| + |N| + |S| - (|T \cap N| + |T \cap S| + |N \cap S|) + |T \cap N \cap S|$

Подставим известные значения в формулу:

$80 = 40 + 20 + |S| - (5 + 10 + 5) + 5$

Упростим выражение:

$80 = 60 + |S| - 20 + 5$

$80 = 45 + |S|$

Отсюда находим $|S|$:

$|S| = 80 - 45$

$|S| = 35$

Таким образом, в исправленной версии задачи число открыток с сиренью равно 35. Распределение по всем областям на диаграмме Венна будет корректным:

Ответ: В условии задачи содержится ошибка, делающая ее нерешаемой в первоначальном виде. Если предположить, что количество открыток со всеми тремя цветами равно 5 (а не 10), то число открыток с сиренью составляет 35.