Номер 7.10, страница 80, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.10. Из 30 чисел, которые больше 10, 20 чисел являются простыми, 25 — нечетными. Сколько простых нечетных чисел из них?

Для решения задачи проанализируем свойства данных чисел. Пусть $U$ — это исходное множество из 30 чисел, каждое из которых больше 10.

Определим подмножества этого множества:

Пусть $P$ — подмножество простых чисел в $U$. По условию, количество простых чисел равно $|P| = 20$.

Пусть $O$ — подмножество нечетных чисел в $U$. По условию, количество нечетных чисел равно $|O| = 25$.

Нам необходимо найти количество простых нечетных чисел. Это соответствует количеству элементов, которые принадлежат одновременно и множеству $P$, и множеству $O$, то есть величине пересечения этих множеств: $|P \cap O|$.

Ключевым условием в задаче является то, что все 30 чисел больше 10. Вспомним определение простого числа: это натуральное число больше 1, которое делится только на 1 и на само себя. Единственным четным простым числом является 2. Все остальные простые числа (3, 5, 7, 11, 13, ...) являются нечетными.

Так как все числа в заданном наборе строго больше 10, ни одно из них не может быть равно 2. Следовательно, если какое-либо число из этого набора является простым, оно обязано быть нечетным. Это означает, что множество простых чисел $P$ является подмножеством множества нечетных чисел $O$, что математически записывается как $P \subseteq O$.

Поскольку все простые числа в данном наборе являются нечетными, то пересечение множества простых чисел и множества нечетных чисел будет совпадать с самим множеством простых чисел: $P \cap O = P$.

Следовательно, количество простых нечетных чисел равно общему количеству простых чисел в этом наборе.

$|P \cap O| = |P| = 20$.

Таким образом, в данном наборе 20 простых нечетных чисел.

Этот результат можно также проверить с помощью формулы включений-исключений: $|P \cup O| = |P| + |O| - |P \cap O|$. Из нее следует, что $|P \cap O| = |P| + |O| - |P \cup O|$.

Для использования этой формулы найдем $|P \cup O|$ — количество чисел, которые являются простыми или нечетными. Это все числа, за исключением тех, которые не являются ни простыми, ни нечетными, то есть являются составными и четными.

Общее число чисел — 30. Нечетных — 25. Следовательно, количество четных чисел равно $30 - 25 = 5$.

Любое четное число, большее 10, является составным (поскольку оно делится на 2). Значит, все 5 четных чисел в наборе являются составными.

Тогда количество чисел, которые являются простыми или нечетными, равно $|P \cup O| = 30 - 5 = 25$.

Теперь подставим найденные значения в формулу для пересечения:

$|P \cap O| = 20 + 25 - 25 = 20$.

Оба метода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 20.