Номер 7.14, страница 80, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.14. 1) Из 100 подарочных наборов в 50 находятся конфеты, в 45 — печенье, в 35 — мандарины, в 20 — конфеты, печенье и мандарины, в 25 — конфеты и печенье, в 15 — печенье и мандарины. Найдите число наборов с конфетами и мандаринами.

2) Из 50 сотрудников фирмы 40 человек владеют казахским языком, 20 — русским, 10 — английским, 15 — казахским и русским, 5 — казахским и английским, 5 — английским и русским. Сколько сотрудников владеют тремя языками — казахским, английским и русским?

Расходы

Налоги 11%

Заработная плата 23%

1) Для решения этой задачи воспользуемся формулой включений-исключений для трех множеств. Пусть $К$ – множество наборов с конфетами, $П$ – множество наборов с печеньем, а $М$ – множество наборов с мандаринами.
По условию нам даны следующие значения:
Общее число наборов (объединение множеств) $|К \cup П \cup М| = 100$.
Число наборов с конфетами $|К| = 50$.
Число наборов с печеньем $|П| = 45$.
Число наборов с мандаринами $|М| = 35$.
Число наборов с конфетами, печеньем и мандаринами $|К \cap П \cap М| = 20$.
Число наборов с конфетами и печеньем $|К \cap П| = 25$.
Число наборов с печеньем и мандаринами $|П \cap М| = 15$.
Нам нужно найти число наборов с конфетами и мандаринами, то есть $|К \cap М|$.
Формула включений-исключений для трех множеств выглядит так:
$|К \cup П \cup М| = |К| + |П| + |М| - |К \cap П| - |К \cap М| - |П \cap М| + |К \cap П \cap М|$
Подставим известные значения в формулу:
$100 = 50 + 45 + 35 - 25 - |К \cap М| - 15 + 20$
Теперь выполним арифметические действия, чтобы найти $|К \cap М|$:
$100 = (50 + 45 + 35 + 20) - (25 + 15) - |К \cap М|$
$100 = 150 - 40 - |К \cap М|$
$100 = 110 - |К \cap М|$
Отсюда выразим искомое значение:
$|К \cap М| = 110 - 100$
$|К \cap М| = 10$
Таким образом, число подарочных наборов, в которых находятся конфеты и мандарины, равно 10.
Ответ: 10.

2) Эта задача также решается с помощью формулы включений-исключений. Пусть $К$ – множество сотрудников, владеющих казахским языком, $Р$ – русским языком, а $А$ – английским языком.
Из условия задачи известны следующие данные:
Всего сотрудников в фирме (размер объединения множеств) $|К \cup Р \cup А| = 50$.
Владеют казахским языком $|К| = 40$.
Владеют русским языком $|Р| = 20$.
Владеют английским языком $|А| = 10$.
Владеют казахским и русским языками $|К \cap Р| = 15$.
Владеют казахским и английским языками $|К \cap А| = 5$.
Владеют английским и русским языками $|А \cap Р| = 5$.
Требуется найти количество сотрудников, владеющих тремя языками, то есть $|К \cap Р \cap А|$.
Применим формулу включений-исключений:
$|К \cup Р \cup А| = |К| + |Р| + |А| - |К \cap Р| - |К \cap А| - |Р \cap А| + |К \cap Р \cap А|$
Подставим известные значения:
$50 = 40 + 20 + 10 - 15 - 5 - 5 + |К \cap Р \cap А|$
Выполним вычисления:
$50 = (40 + 20 + 10) - (15 + 5 + 5) + |К \cap Р \cap А|$
$50 = 70 - 25 + |К \cap Р \cap А|$
$50 = 45 + |К \cap Р \cap А|$
Теперь найдем искомую величину:
$|К \cap Р \cap А| = 50 - 45$
$|К \cap Р \cap А| = 5$
Следовательно, 5 сотрудников владеют тремя языками.
Ответ: 5.