Номер 7.7, страница 79, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.7. 12 учащихся сдавали экзамены по математике и физике. Из двух экзаменов 1 учащийся не сдал экзамен по математике, 3 — по физике и 1 — по двум предметам. Сколько всего неуспевающих учащихся?

Для решения этой задачи мы будем использовать теорию множеств. Пусть $M$ — это множество учащихся, которые не сдали экзамен по математике, а $P$ — множество учащихся, которые не сдали экзамен по физике. Нам нужно найти общее количество неуспевающих учащихся, то есть количество учащихся, которые не сдали хотя бы один экзамен. Это соответствует нахождению мощности объединения множеств $M$ и $P$, то есть $|M \cup P|$.

Из условия задачи нам известно:

• Количество учащихся, не сдавших экзамен по математике: $|M| = 1$.
• Количество учащихся, не сдавших экзамен по физике: $|P| = 3$.
• Количество учащихся, не сдавших оба экзамена (то есть находящихся в пересечении множеств): $|M \cap P| = 1$.

Для нахождения количества элементов в объединении двух множеств используется формула включений-исключений:

$|M \cup P| = |M| + |P| - |M \cap P|$

Подставим известные значения в формулу:

$|M \cup P| = 1 + 3 - 1 = 3$

Таким образом, 3 учащихся не сдали хотя бы один экзамен.

Также задачу можно решить, разбив всех неуспевающих на группы, которые не пересекаются:

1. Учащиеся, которые не сдали только математику. Их количество равно $|M| - |M \cap P| = 1 - 1 = 0$.
2. Учащиеся, которые не сдали только физику. Их количество равно $|P| - |M \cap P| = 3 - 1 = 2$.
3. Учащиеся, которые не сдали оба экзамена. Их количество равно $|M \cap P| = 1$.

Чтобы найти общее число неуспевающих, нужно сложить количество учащихся в этих трех группах:

$0 (только математика) + 2 (только физика) + 1 (оба предмета) = 3$

Визуально это можно представить с помощью диаграммы Эйлера-Венна:

Общее количество неуспевающих учащихся равно сумме людей во всех частях кругов: $0 + 1 + 2 = 3$.

Ответ: 3.