Номер 7.12, страница 80, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.12. Из группы 9 учащихся на экзаменах получили отличные отметки, 15 — хорошие, 7 — удовлетворительные, 6 — отличные и хорошие, 3 — удовлетворительные и хорошие, 3 — отличные и удовлетворительные, 2 — отличные, удовлетворительные и хорошие. Найдите число учащихся в группе.

Для нахождения общего числа учащихся в группе воспользуемся теорией множеств, а именно принципом включений-исключений. Обозначим множества учащихся, получивших различные оценки:

• $O$ — множество учащихся, получивших отличные отметки.
• $X$ — множество учащихся, получивших хорошие отметки.
• $У$ — множество учащихся, получивших удовлетворительные отметки.

Согласно условию задачи, нам известны размеры этих множеств и их пересечений:

• Число учащихся с отличными отметками: $|O| = 9$.
• Число учащихся с хорошими отметками: $|X| = 15$.
• Число учащихся с удовлетворительными отметками: $|У| = 7$.
• Число учащихся с отличными и хорошими отметками: $|O \cap X| = 6$.
• Число учащихся с удовлетворительными и хорошими отметками: $|У \cap X| = 3$.
• Число учащихся с отличными и удовлетворительными отметками: $|O \cap У| = 3$.
• Число учащихся, получивших все три вида отметок: $|O \cap X \cap У| = 2$.

Чтобы найти общее число учащихся в группе, необходимо найти мощность объединения этих трех множеств, то есть $|O \cup X \cup У|$. Формула включений-исключений для трех множеств гласит:

$|O \cup X \cup У| = |O| + |X| + |У| - (|O \cap X| + |O \cap У| + |X \cap У|) + |O \cap X \cap У|$

Подставим в формулу данные из условия задачи и произведем расчет:

$|O \cup X \cup У| = 9 + 15 + 7 - (6 + 3 + 3) + 2$

$|O \cup X \cup У| = 31 - 12 + 2$

$|O \cup X \cup У| = 19 + 2 = 21$

Таким образом, общее число учащихся в группе составляет 21 человек.

Для наглядности можно представить эту задачу с помощью диаграммы Венна, где каждая область представляет определенную группу учащихся.

Сумма чисел во всех областях диаграммы дает общее число учащихся: $2 (только О) + 8 (только Х) + 3 (только У) + 4 (О \text{ и } Х) + 1 (О \text{ и } У) + 1 (Х \text{ и } У) + 2 (все три) = 21$.

Ответ: 21.