Номер 7.5, страница 79, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.5. Все учащиеся класса либо увлекаются плаванием, либо игрой в теннис. 12 учащихся увлекаются плаванием, 18 учащихся — игрой в теннис, 5 учащихся — плаванием и игрой в теннис.

Сколько в классе учащихся?

Для решения этой задачи воспользуемся принципом включений-исключений для множеств. Пусть $П$ — это множество учащихся, которые увлекаются плаванием, а $Т$ — множество учащихся, которые увлекаются игрой в теннис. В условии сказано, что все учащиеся класса увлекаются либо плаванием, либо теннисом, значит, нам нужно найти общее число элементов в объединении этих двух множеств, то есть $|П \cup Т|$.

Из условия нам известны следующие данные:

— Количество учащихся, увлекающихся плаванием: $|П| = 12$.

— Количество учащихся, увлекающихся игрой в теннис: $|Т| = 18$.

— Количество учащихся, которые увлекаются и плаванием, и теннисом (то есть находятся в пересечении множеств): $|П \cap Т| = 5$.

Чтобы найти общее количество учащихся в классе, мы можем сложить число всех, кто увлекается плаванием, и всех, кто увлекается теннисом. При таком подходе те 5 учащихся, которые увлекаются обоими видами спорта, будут посчитаны дважды. Поэтому, чтобы получить верный результат, это пересечение необходимо вычесть из суммы. Это отражено в формуле включений-исключений:

$|П \cup Т| = |П| + |Т| - |П \cap Т|$

Подставим в формулу известные значения:

$|П \cup Т| = 12 + 18 - 5 = 30 - 5 = 25$

Таким образом, в классе 25 учащихся.

Эту задачу также можно решить пошагово, разбив учеников на группы. Для наглядности представим ситуацию с помощью диаграммы Эйлера-Венна.

1. Найдём количество учащихся, которые увлекаются только плаванием. Для этого из общего числа пловцов вычтем тех, кто увлекается ещё и теннисом: $12 - 5 = 7$ учащихся.

2. Найдём количество учащихся, которые увлекаются только теннисом. Для этого из общего числа теннисистов вычтем тех, кто также увлекается плаванием: $18 - 5 = 13$ учащихся.

3. Общее количество учащихся в классе — это сумма трёх групп: увлекающиеся только плаванием, увлекающиеся только теннисом и увлекающиеся обоими видами спорта: $7 + 13 + 5 = 25$ учащихся.

Ответ: 25 учащихся.