Номер 27, страница 73, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27. Используя рисунки, изобразите множество решений системы неравенств на координатной плоскости $\begin{cases}x^2 + y^2 \le 9, \\2x^2 + 3y^2 \ge 0:\end{cases}$

A) B) C) D)

Дано:

Система неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 9 \\ 2x^2 + 3y^2 > 0 \end{cases} $$

Найти:

Изобразить множество решений системы неравенств на координатной плоскости и выбрать соответствующий рисунок.

Решение:

Рассмотрим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство $x^2 + y^2 \le 9$ задает множество точек, расположенных внутри и на границе окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{9} = 3$. Это замкнутый круг.

Второе неравенство $2x^2 + 3y^2 > 0$. Поскольку $x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$ для любых действительных $x$ и $y$, то сумма $2x^2 + 3y^2$ всегда неотрицательна. Равенство $2x^2 + 3y^2 = 0$ достигается только при условии, что $x=0$ и $y=0$ одновременно. Таким образом, неравенство $2x^2 + 3y^2 > 0$ выполняется для всех точек $(x, y)$ на плоскости, кроме начала координат (0, 0).

Решением системы является пересечение множеств решений обоих неравенств. То есть, это все точки круга $x^2 + y^2 \le 9$ за исключением точки (0, 0). Получаем круг радиуса 3 с "выколотым" центром.

При графическом изображении такой фигуры на плоскости, удаление одной точки (центра круга), которая имеет нулевую площадь, визуально не отображается. Область будет выглядеть как сплошной заштрихованный круг. Из предложенных вариантов такому описанию соответствует рисунок D, на котором заштрихован весь круг.

Ответ: D.