Номер 26, страница 73, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

26. Укажите геометрическую иллюстрацию решений системы

$\begin{cases} x^2 + y^2 < 4, \\ x^2 - y^2 \ge 0: \end{cases}$

A) B) C) D)

Для решения задачи необходимо проанализировать каждое неравенство системы и найти пересечение их решений на координатной плоскости.

Анализ первого неравенства: $x^2 + y^2 < 4$

Уравнение $x^2 + y^2 = 4$ описывает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$. Неравенство $x^2 + y^2 < 4$ задает множество всех точек, расположенных внутри этой окружности. Так как неравенство строгое, сама окружность не входит в область решений. На всех предложенных рисунках изображена область внутри круга радиусом 2.

Анализ второго неравенства: $x^2 - y^2 > 0$

Сначала рассмотрим граничное условие $x^2 - y^2 = 0$. Это уравнение можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $(x - y)(x + y) = 0$. Это равенство выполняется, если $x - y = 0$ или $x + y = 0$. Таким образом, мы получаем две прямые: $y = x$ и $y = -x$. Эти прямые являются биссектрисами координатных углов и делят плоскость на четыре области.

Теперь вернемся к неравенству $x^2 - y^2 > 0$. Его можно переписать как $x^2 > y^2$, что эквивалентно $|x| > |y|$. Это означает, что для любой точки $(x, y)$ из области решений ее абсцисса по модулю должна быть больше ее ординаты по модулю.

Чтобы определить, какие из четырех областей удовлетворяют этому условию, можно взять по одной пробной точке из каждой. Например, для точки $(1, 0)$ из правой области получаем $1^2 - 0^2 = 1 > 0$, что верно. Для точки $(0, 1)$ из верхней области получаем $0^2 - 1^2 = -1 < 0$, что неверно. Для точки $(-1, 0)$ из левой области получаем $(-1)^2 - 0^2 = 1 > 0$, что верно. Для точки $(0, -1)$ из нижней области получаем $0^2 - (-1)^2 = -1 < 0$, что неверно.

Следовательно, неравенство $x^2 - y^2 > 0$ описывает две области, расположенные слева и справа от начала координат, заключенные между прямыми $y = x$ и $y = -x$.

Геометрическая иллюстрация решения системы

Решением системы является пересечение (общая часть) множеств решений обоих неравенств. Это означает, что нам нужно найти точки, которые одновременно находятся внутри круга радиусом 2 и в областях, где $|x| > |y|$.

Сравнивая это описание с предложенными вариантами:

• Рисунок А) показывает всю внутренность круга, что неверно.

• Рисунок B) показывает верхний и нижний сектора круга, где выполняется $|y| > |x|$ ($x^2 - y^2 < 0$), что неверно.

• Рисунок C) показывает левый и правый сектора круга, где выполняется $|x| > |y|$ ($x^2 - y^2 > 0$), что соответствует решению системы.

• Рисунок D) показывает только один сектор, что неверно.

Таким образом, правильная геометрическая иллюстрация решений системы показана на рисунке C.

Ответ: C