Номер 19, страница 71, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19. Пусть $(x_0; y_0)$ — решение системы $\begin{cases} x - 2y = -3, \\ y^2 - 2x = 3. \end{cases}$ Найдите $x_0 + 2y_0$:

A) -1 или 9;

B) 1 или 6;

C) 1 или 9;

D) -1 или 6;

E) 0 или 9.

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x - 2y = -3, \\ y^2 - 2x = 3. \end{cases} $$

Обозначим решения системы как $(x_0; y_0)$. Нам нужно найти все возможные значения выражения $x_0 + 2y_0$.

Для решения системы используем метод подстановки. Выразим $x$ из первого уравнения через $y$:

$x = 2y - 3$

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$y^2 - 2(2y - 3) = 3$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y^2 - 4y + 6 = 3$

$y^2 - 4y + 3 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $y$. Найдем его корни, например, по теореме Виета. Сумма корней равна коэффициенту при $y$ с противоположным знаком, то есть 4, а их произведение равно свободному члену, то есть 3. Легко подобрать корни:

$y_1 = 1$ и $y_2 = 3$.

Это означает, что система имеет два решения. Найдем значение выражения $x_0 + 2y_0$ для каждого из них.

Случай 1: $y_0 = 1$.

Найдем соответствующее значение $x_0$, подставив $y_0=1$ в выражение $x_0 = 2y_0 - 3$:

$x_0 = 2(1) - 3 = 2 - 3 = -1$.

Таким образом, первое решение системы — это пара $(-1; 1)$.

Для этого решения вычислим значение искомого выражения:

$x_0 + 2y_0 = -1 + 2(1) = -1 + 2 = 1$.

Случай 2: $y_0 = 3$.

Найдем соответствующее значение $x_0$, подставив $y_0=3$ в выражение $x_0 = 2y_0 - 3$:

$x_0 = 2(3) - 3 = 6 - 3 = 3$.

Таким образом, второе решение системы — это пара $(3; 3)$.

Для этого решения вычислим значение искомого выражения:

$x_0 + 2y_0 = 3 + 2(3) = 3 + 6 = 9$.

В результате мы получили два возможных значения для выражения $x_0 + 2y_0$: 1 и 9.

Ответ: 1 или 9.