Номер 14, страница 70, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14. Решите систему уравнений $\begin{cases} x + y = -1, \\ x^2 + y^2 = 1: \end{cases}$

A) $\{(-1; 0), (0; -1)\}$

B) $\{(1; 0), (0; 1)\}$

C) $\{(-2; 0), (0; -2)\}$

D) $\{(1; 1), (-1; 1)\}$

E) $\{(0; \frac{1}{2}), (\frac{1}{2}; 0)\}$

Для решения данной системы уравнений воспользуемся методом подстановки. Исходная система:

$ \begin{cases} x + y = -1, \\ x^2 + y^2 = 1 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим переменную $y$ через $x$:

$y = -1 - x$

Теперь подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$x^2 + (-1 - x)^2 = 1$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Обратите внимание, что $(-1-x)^2 = (-(1+x))^2 = (1+x)^2$.

$x^2 + (1^2 + 2 \cdot 1 \cdot x + x^2) = 1$

$x^2 + 1 + 2x + x^2 = 1$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 + 2x + 1 = 1$

Перенесем 1 из правой части в левую:

$2x^2 + 2x = 0$

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $x$:

1) $2x = 0$, что дает $x_1 = 0$.

2) $x + 1 = 0$, что дает $x_2 = -1$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного значения $x$, подставив их в выражение $y = -1 - x$.

Если $x_1 = 0$, то:

$y_1 = -1 - 0 = -1$

Таким образом, первая пара решений – это $(0; -1)$.

Если $x_2 = -1$, то:

$y_2 = -1 - (-1) = -1 + 1 = 0$

Таким образом, вторая пара решений – это $(-1; 0)$.

Итак, система имеет два решения: $(-1; 0)$ и $(0; -1)$. Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту A.

Ответ: A) $\{(-1; 0), (0; -1)\}$