Номер 20, страница 71, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20. Какая из систем не имеет решений:

A) $\begin{cases} x + y = 3 \\ xy = 2 \end{cases}$

B) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 17 \\ xy = 4 \end{cases}$

C) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ x + y = 5 \end{cases}$

D) $\begin{cases} x - y = 1 \\ xy = -1 \end{cases}$

E) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 23 \\ xy = 1 \end{cases}$

Для того чтобы определить, какая из предложенных систем уравнений не имеет решений, необходимо проанализировать каждую из них.

A) Рассмотрим систему $\begin{cases} x + y = 3, \\ xy = 2; \end{cases}$. Согласно теореме, обратной теореме Виета, переменные $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$. Подставив значения из системы, получим уравнение $t^2 - 3t + 2 = 0$. Дискриминант этого уравнения равен $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$. Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня, а значит, и система имеет решения.

B) Рассмотрим систему $\begin{cases} x^2 + y^2 = 17, \\ xy = 4; \end{cases}$. Воспользуемся тождеством сокращенного умножения $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$. Подставим в него известные значения из системы: $(x+y)^2 = 17 + 2 \cdot 4 = 17 + 8 = 25$. Отсюда следует, что $x+y = 5$ или $x+y = -5$. Таким образом, решение исходной системы сводится к решению двух систем:
1) $\begin{cases} x+y = 5, \\ xy = 4; \end{cases}$. Соответствующее этой системе квадратное уравнение $t^2 - 5t + 4 = 0$ имеет дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25-16=9 > 0$, следовательно, есть решения.
2) $\begin{cases} x+y = -5, \\ xy = 4; \end{cases}$. Соответствующее этой системе квадратное уравнение $t^2 + 5t + 4 = 0$ имеет дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25-16=9 > 0$, следовательно, также есть решения.
Значит, исходная система имеет решения.

C) Рассмотрим систему $\begin{cases} x^2 + y^2 = 13, \\ x + y = 5; \end{cases}$. Возведем второе уравнение системы в квадрат: $(x+y)^2 = 5^2$, что равносильно $x^2 + 2xy + y^2 = 25$. Из первого уравнения нам известно, что $x^2 + y^2 = 13$. Подставим это значение: $13 + 2xy = 25$. Отсюда $2xy = 12$, и $xy = 6$. Теперь исходная система эквивалентна системе $\begin{cases} x+y = 5, \\ xy = 6; \end{cases}$. Переменные $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$. Его дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 > 0$. Следовательно, система имеет решения.

D) Рассмотрим систему $\begin{cases} x - y = 1, \\ xy = -1; \end{cases}$. Из первого уравнения выразим переменную $x$: $x = y + 1$. Подставим полученное выражение во второе уравнение: $(y+1) \cdot y = -1$. Раскроем скобки и преобразуем уравнение: $y^2 + y = -1$, что равносильно $y^2 + y + 1 = 0$. Найдем дискриминант этого квадратного уравнения относительно переменной $y$: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$. Поскольку дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, исходная система не имеет действительных решений.

E) Рассмотрим систему $\begin{cases} x^2 + y^2 = 23, \\ xy = 1; \end{cases}$. По аналогии с пунктом B), используем тождество $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$. Подставим значения из системы: $(x+y)^2 = 23 + 2 \cdot 1 = 25$. Отсюда $x+y = 5$ или $x+y = -5$. Решение снова сводится к двум системам:
1) $\begin{cases} x+y = 5, \\ xy = 1; \end{cases}$. Квадратное уравнение $t^2 - 5t + 1 = 0$ имеет дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 25 - 4 = 21 > 0$, значит, решения есть.
2) $\begin{cases} x+y = -5, \\ xy = 1; \end{cases}$. Квадратное уравнение $t^2 + 5t + 1 = 0$ имеет дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 25 - 4 = 21 > 0$, значит, решения есть.
Таким образом, исходная система имеет решения.

В результате анализа было установлено, что только система уравнений под буквой D не имеет решений в действительных числах.

Ответ: D