Номер 22, страница 71, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

22. Пусть $ (x_0; y_0) $ — решение системы

$\begin{cases} x + 2y = 4, \\ y^2 + 2x = 5. \end{cases}$

Найдите $ 2x_0 - y_0 $:

A) 0 или 4;

B) 1 или -3;

C) 3 или -7;

D) -3 или 3;

E) 1 или -7.

Для того чтобы найти значения выражения $2x_0 - y_0$, необходимо сначала решить систему уравнений, решением которой является пара $(x_0; y_0)$:

$$ \begin{cases} x + 2y = 4 \\ y^2 + 2x = 5 \end{cases} $$

Для решения системы воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $x$ через $y$:

$x = 4 - 2y$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$y^2 + 2(4 - 2y) = 5$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ay^2+by+c=0$:

$y^2 + 8 - 4y = 5$

$y^2 - 4y + 8 - 5 = 0$

$y^2 - 4y + 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Корни можно найти по теореме Виета: произведение корней равно 3, а их сумма равна 4. Этим условиям удовлетворяют числа 1 и 3.

Таким образом, мы получили два возможных значения для $y_0$:

$y_1 = 1$ и $y_2 = 3$.

Теперь для каждого значения $y_0$ найдем соответствующее значение $x_0$, используя формулу $x = 4 - 2y$.

1. Если $y_0 = 1$, то $x_0 = 4 - 2(1) = 4 - 2 = 2$. Первое решение системы: $(2; 1)$.

2. Если $y_0 = 3$, то $x_0 = 4 - 2(3) = 4 - 6 = -2$. Второе решение системы: $(-2; 3)$.

Найдите $2x_0 - y_0$

Теперь вычислим значение выражения $2x_0 - y_0$ для каждой из найденных пар $(x_0; y_0)$.

1. Для решения $(2; 1)$:

$2x_0 - y_0 = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3$

2. Для решения $(-2; 3)$:

$2x_0 - y_0 = 2(-2) - 3 = -4 - 3 = -7$

Таким образом, возможные значения выражения $2x_0 - y_0$ — это 3 и -7. Это соответствует варианту ответа C.

Ответ: C) 3 или -7.