Вопросы, страница 79, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Приведите пример комбинаторной задачи.

2. В каких случаях используют правило суммы?

3. В каких случаях используют правило произведения?

1. Комбинаторная задача — это задача, в которой требуется подсчитать количество различных способов (комбинаций) для выполнения некоторого действия или выбора элементов из заданного множества. Эти задачи исследуют перестановки, размещения и сочетания.

Пример задачи:

В меню столовой есть 3 вида супа (борщ, щи, солянка), 4 вида второго блюда (котлета с пюре, гуляш с макаронами, рыба с рисом, пельмени) и 2 вида напитка (чай, компот). Сколькими способами можно составить обед из трех блюд: супа, второго блюда и напитка?

Решение:

Для решения этой задачи используется правило произведения. Выбор каждого блюда — это независимый этап.

1. Выбрать суп можно 3 способами.

2. Для каждого выбранного супа можно выбрать второе блюдо 4 способами.

3. Для каждой пары "суп и второе" можно выбрать напиток 2 способами.

Чтобы найти общее количество комбинаций, нужно перемножить число вариантов на каждом этапе:

$N = 3 \times 4 \times 2 = 24$

Ответ: Можно составить 24 различных варианта обеда.

2. Правило суммы (или принцип сложения) в комбинаторике используется в тех случаях, когда необходимо выбрать один элемент из нескольких взаимоисключающих наборов. Если некоторый объект А можно выбрать $m$ способами, а другой объект Б можно выбрать $n$ способами, и при этом выбор А исключает выбор Б (т.е. нельзя выбрать А и Б одновременно), то сделать выбор «либо А, либо Б» можно $m + n$ способами.

Ключевым словом, указывающим на применение правила суммы, является союз «или».

Пример:

На полке стоит 10 книг по математике и 7 книг по физике. Сколькими способами студент может выбрать одну книгу для чтения?

Решение:

Студент может выбрать книгу по математике (объект А) 10 способами. Также он может выбрать книгу по физике (объект Б) 7 способами. Поскольку выбранная книга не может быть одновременно и по математике, и по физике, эти выборы являются взаимоисключающими. Следовательно, выбрать одну книгу (либо по математике, либо по физике) можно, используя правило суммы:

$10 + 7 = 17$ способами.

Ответ: Правило суммы используется, когда выбор разбивается на несколько непересекающихся случаев, и требуется найти общее число способов, выбрав вариант из одного из этих случаев.

3. Правило произведения (или принцип умножения) используется, когда задача состоит из выполнения последовательности из нескольких независимых действий. Если первое действие можно выполнить $m$ способами, и после каждого из этих способов второе действие можно выполнить $n$ способами, то оба действия (первое и второе) можно выполнить $m \times n$ способами.

Ключевым словом, указывающим на применение правила произведения, является союз «и».

Пример:

Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4, 5, если цифры в числе могут повторяться?

Решение:

Составление двузначного числа — это последовательность двух действий:

1. Выбор первой цифры (цифры десятков).

2. Выбор второй цифры (цифры единиц).

Первую цифру можно выбрать 5 способами (любая из цифр 1, 2, 3, 4, 5). Поскольку цифры могут повторяться, для каждого выбора первой цифры существует также 5 способов выбрать вторую цифру. Таким образом, общее количество двузначных чисел находится по правилу произведения:

$5 \times 5 = 25$ чисел.

Ответ: Правило произведения используется, когда для получения итогового результата необходимо совершить несколько последовательных и независимых друг от друга выборов, и общее число комбинаций равно произведению числа вариантов на каждом шаге.