Номер 21, страница 71, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21. Какая пара чисел является решением системы $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 10, \\ x + y = -4: \end{cases} $

A) (-1; 3), (3; -1);

B) (-1; -3), (5; 1);

C) (1; 3), (-5; -1);

D) (-1; -3), (-3; -1);

E) (1; -3), (-5; 1)?

Для решения системы уравнений, состоящей из $x^2 + y^2 = 10$ и $x + y = -4$, воспользуемся методом подстановки.

Шаг 1: Выражение одной переменной через другую.
Из второго, более простого, линейного уравнения $x + y = -4$ выразим переменную $y$ через $x$.
$y = -4 - x$.

Шаг 2: Подстановка в первое уравнение.
Теперь подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы $x^2 + y^2 = 10$.
$x^2 + (-4 - x)^2 = 10$.

Шаг 3: Решение полученного уравнения.
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы: $(-a-b)^2 = (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.
$x^2 + (16 + 8x + x^2) = 10$.
Приводим подобные слагаемые:
$2x^2 + 8x + 16 = 10$.
Переносим 10 в левую часть уравнения:
$2x^2 + 8x + 6 = 0$.
Для удобства разделим все члены уравнения на 2:
$x^2 + 4x + 3 = 0$.

Шаг 4: Нахождение корней квадратного уравнения.
Полученное квадратное уравнение $x^2 + 4x + 3 = 0$ решим по теореме Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Таким образом, ищем два числа, сумма которых равна $-4$, а произведение равно $3$. Этими числами являются $-1$ и $-3$.
Следовательно, корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = -3$.

Шаг 5: Нахождение соответствующих значений второй переменной.
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного значения $x$, используя формулу $y = -4 - x$.
Для $x_1 = -1$:
$y_1 = -4 - (-1) = -4 + 1 = -3$.
Первая пара решения: $(-1; -3)$.
Для $x_2 = -3$:
$y_2 = -4 - (-3) = -4 + 3 = -1$.
Вторая пара решения: $(-3; -1)$.

Таким образом, решениями системы являются пары чисел $(-1; -3)$ и $(-3; -1)$. Этот набор пар соответствует варианту D.

Проверка:
Для пары $(-1; -3)$: $x^2 + y^2 = (-1)^2 + (-3)^2 = 1 + 9 = 10$; $x + y = -1 + (-3) = -4$. Оба уравнения верны.
Для пары $(-3; -1)$: $x^2 + y^2 = (-3)^2 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10$; $x + y = -3 + (-1) = -4$. Оба уравнения верны.

Ответ: D) $(-1; -3)$, $(-3; -1);