Номер 16, страница 70, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16. Решите систему уравнений $ \begin{cases} x + y = 14, \\ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 2\frac{1}{12}. \end{cases} $

A) $\{(6; 8), (8; 6)\};$

B) $\{(10; 4), (4; 10)\};$

C) $\{(-18; 4), (4; -18)\};$

D) $\{(-6; -8), (-8; -6)\};$

E) $\{(4; 2), (-2; -4)\}.$

Для решения данной системы уравнений $ \begin{cases} x + y = 14 \\ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 2\frac{1}{12} \end{cases} $ сначала преобразуем второе уравнение. Отметим, что из-за наличия дробей в уравнении $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

Приведем дроби в левой части второго уравнения к общему знаменателю $xy$ и представим смешанное число в правой части в виде неправильной дроби:

$\frac{x^2+y^2}{xy} = \frac{2 \cdot 12 + 1}{12}$

$\frac{x^2+y^2}{xy} = \frac{25}{12}$

Теперь воспользуемся тождеством полного квадрата $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, из которого можно выразить $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$. Из первого уравнения системы известно, что $x+y=14$. Подставим это значение:

$x^2+y^2 = 14^2 - 2xy = 196 - 2xy$.

Подставим полученное выражение в преобразованное второе уравнение:

$\frac{196 - 2xy}{xy} = \frac{25}{12}$

Решим это уравнение относительно произведения $xy$. Используя основное свойство пропорции, получаем:

$12(196 - 2xy) = 25xy$

$2352 - 24xy = 25xy$

$2352 = 49xy$

$xy = \frac{2352}{49} = 48$.

Таким образом, исходная система эквивалентна следующей системе:

$ \begin{cases} x + y = 14 \\ xy = 48 \end{cases} $

Согласно теореме, обратной теореме Виета, числа $x$ и $y$ являются корнями приведенного квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

$t^2 - 14t + 48 = 0$.

Найдем корни этого уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 14, а их произведение равно 48. Легко подобрать корни: это числа 6 и 8, так как $6+8=14$ и $6 \cdot 8 = 48$.

Следовательно, корнями уравнения являются $t_1 = 6$ и $t_2 = 8$.

Это означает, что решениями системы являются пары чисел $(6; 8)$ и $(8; 6)$.

Ответ: A) $\{(6; 8), (8; 6)\}$.