Номер 11, страница 69, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11. Изображением решения системы неравенств $ \begin{cases} x^2 - x \ge 6, \\ x + 1 \ge 0 \end{cases} $ на числовой прямой является:

A) B) C) D)

Для решения данной системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений (общую часть).

Система неравенств выглядит следующим образом:

$\begin{cases} x^2 - x \ge 6 \\ x + 1 \ge 0 \end{cases}$

Решение первого неравенства

Рассмотрим первое, квадратное неравенство: $x^2 - x \ge 6$.

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы сравнить с нулем: $x^2 - x - 6 \ge 0$.

Далее найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. Это можно сделать с помощью дискриминанта или по теореме Виета. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 1$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -6$. Подбором находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Графиком функции $y = x^2 - x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число). Это означает, что парабола находится выше или на оси абсцисс (то есть $y \ge 0$) на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решением первого неравенства является объединение промежутков: $x \in (-\infty, -2] \cup [3, \infty)$.

Решение второго неравенства

Рассмотрим второе, линейное неравенство: $x + 1 \ge 0$.

Перенесем 1 в правую часть неравенства, изменив знак: $x \ge -1$.

Решением второго неравенства является промежуток: $x \in [-1, \infty)$.

Нахождение решения системы и выбор правильного изображения

Решение системы — это пересечение множеств решений каждого из неравенств. Нам нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно:

$x \in ((-\infty, -2] \cup [3, \infty)) \cap [-1, \infty)$

Изобразим эти множества на числовой прямой. Первое множество — это все числа до -2 включительно и от 3 включительно. Второе множество — это все числа от -1 включительно.

Общая часть (пересечение) этих множеств — это промежуток, где $x$ одновременно больше или равен -1 и при этом либо меньше или равен -2 (что невозможно), либо больше или равен 3. Единственная область, удовлетворяющая этим условиям, — это $x \ge 3$.

Итак, решение системы неравенств: $x \in [3, \infty)$.

Теперь проанализируем предложенные варианты. Часто в подобных задачах на изображениях показывают графическое решение каждого из неравенств системы, а итоговым решением является их пересечение.

Рассмотрим вариант D). На этом изображении нанесены решения обоих неравенств:

• Штриховкой одного вида показано решение $x \in (-\infty, -2] \cup [3, \infty)$ (решение первого неравенства).
• Штриховкой другого вида показано решение $x \ge -1$ (решение второго неравенства).

Изображение D) является единственным, которое корректно иллюстрирует решения обоих неравенств на одной числовой оси. Область, где штриховки накладываются друг на друга (пересекаются), и есть решение системы. Эта область соответствует промежутку $[3, \infty)$.

Ответ: D)