Номер 13, страница 70, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13. Решите систему уравнений $ \begin{cases} x^3 \cdot y^5 = 8, \\ x^5 \cdot y^3 = 32: \end{cases} $

A) $ \{ (2; 1), (-2; -1) \} $

B) $ \{ (1; 1), (0; 1) \} $

C) $ \{ (1; -1), (1; 1) \} $

D) $ \{ (0; -2), (-2; 0) \} $

E) $ \{ (-1; 2), (2; -1) \} $

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^3 \cdot y^5 = 8 \\ x^5 \cdot y^3 = 32 \end{cases} $

Прежде всего заметим, что $x \neq 0$ и $y \neq 0$, поскольку в противном случае левые части уравнений обращались бы в ноль, что противоречит правым частям.

Для решения этой системы удобно использовать методы умножения и деления уравнений.

1. Умножение уравнений. Умножим левые и правые части уравнений друг на друга:

$(x^3 \cdot y^5) \cdot (x^5 \cdot y^3) = 8 \cdot 32$

Применяя свойство степеней ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), получаем:

$x^{3+5} \cdot y^{5+3} = 256$

$x^8 \cdot y^8 = 256$

Представим это как степень произведения:

$(xy)^8 = 2^8$

Из этого уравнения следует, что основание степени может быть положительным или отрицательным: $xy = 2$ или $xy = -2$.

2. Деление уравнений. Разделим второе уравнение на первое:

$\frac{x^5 \cdot y^3}{x^3 \cdot y^5} = \frac{32}{8}$

Применяя свойство степеней ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$), получаем:

$x^{5-3} \cdot y^{3-5} = 4$

$x^2 \cdot y^{-2} = 4$

$\frac{x^2}{y^2} = 4$, или $(\frac{x}{y})^2 = 4$

Из этого уравнения также следует два возможных варианта: $\frac{x}{y} = 2$ или $\frac{x}{y} = -2$.

Теперь у нас есть четыре возможные системы, которые нужно решить.

Случай 1: $ \begin{cases} xy = 2 \\ \frac{x}{y} = 2 \end{cases} $
Из второго уравнения выражаем $x = 2y$. Подставляем в первое: $(2y)y = 2 \implies 2y^2 = 2 \implies y^2 = 1$. Отсюда $y_1 = 1$, $y_2 = -1$. Находим соответствующие значения $x$: Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 2 \cdot 1 = 2$. Решение $(2; 1)$. Если $y_2 = -1$, то $x_2 = 2 \cdot (-1) = -2$. Решение $(-2; -1)$. Проверка для $(2; 1)$: $2^3 \cdot 1^5 = 8$, $2^5 \cdot 1^3 = 32$. Верно. Проверка для $(-2; -1)$: $(-2)^3 \cdot (-1)^5 = (-8)(-1) = 8$, $(-2)^5 \cdot (-1)^3 = (-32)(-1) = 32$. Верно.

Случай 2: $ \begin{cases} xy = 2 \\ \frac{x}{y} = -2 \end{cases} $
Из второго уравнения $x = -2y$. Подставляем в первое: $(-2y)y = 2 \implies -2y^2 = 2 \implies y^2 = -1$. Эта система не имеет решений в действительных числах.

Случай 3: $ \begin{cases} xy = -2 \\ \frac{x}{y} = 2 \end{cases} $
Из второго уравнения $x = 2y$. Подставляем в первое: $(2y)y = -2 \implies 2y^2 = -2 \implies y^2 = -1$. Эта система также не имеет решений в действительных числах.

Случай 4: $ \begin{cases} xy = -2 \\ \frac{x}{y} = -2 \end{cases} $
Из второго уравнения $x = -2y$. Подставляем в первое: $(-2y)y = -2 \implies -2y^2 = -2 \implies y^2 = 1$. Отсюда $y_3 = 1$, $y_4 = -1$. Находим соответствующие значения $x$: Если $y_3 = 1$, то $x_3 = -2 \cdot 1 = -2$. Потенциальное решение $(-2; 1)$. Если $y_4 = -1$, то $x_4 = -2 \cdot (-1) = 2$. Потенциальное решение $(2; -1)$. Проверим эти пары в исходном первом уравнении $x^3y^5 = 8$: Для $(-2; 1)$: $(-2)^3 \cdot 1^5 = -8 \neq 8$. Не является решением. Для $(2; -1)$: $2^3 \cdot (-1)^5 = 8 \cdot (-1) = -8 \neq 8$. Не является решением.

Итак, единственными решениями системы являются пары $(2; 1)$ и $(-2; -1)$. Сравнивая с предложенными вариантами, видим, что это соответствует варианту A.

Ответ: A) $\{(2; 1), (-2; -1)\}$