Номер 15, страница 70, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15. Решите систему уравнений $\begin{cases} xy + x = -4, \\ x - y = 6: \end{cases}$

A) ${(-1;5), (5; \frac{1}{2})};$

B) $\{(5; -1), (-1; -5)\};$

C) $\{(1; -5), (4; -2)\};$

D) $\{(2; 4), (-5; -1)\};$

E) $\{(-2; -4), (5; 1)\}.$

Дано:

Система уравнений: $ \begin{cases} xy + x = -4 \\ x - y = 6 \end{cases} $

Найти:

Решения системы уравнений $(x, y)$.

Решение:

Для решения данной системы уравнений применим метод подстановки. Сначала выразим одну переменную через другую из второго, более простого, уравнения.

1. Из второго уравнения $x - y = 6$ выразим переменную $x$:

$x = y + 6$

2. Теперь подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы $xy + x = -4$:

$(y + 6)y + (y + 6) = -4$

3. Раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному квадратному виду $ay^2 + by + c = 0$:

$y^2 + 6y + y + 6 = -4$

$y^2 + 7y + 6 + 4 = 0$

$y^2 + 7y + 10 = 0$

4. Решим полученное квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=7$, $c=10$:

$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$y_2 = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 3}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

5. Мы нашли два возможных значения для $y$. Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого из них, используя ранее полученное выражение $x = y + 6$.

Для $y_1 = -2$:

$x_1 = -2 + 6 = 4$

Таким образом, первая пара решений: $(4; -2)$.

Для $y_2 = -5$:

$x_2 = -5 + 6 = 1$

Таким образом, вторая пара решений: $(1; -5)$.

Множество решений системы уравнений: $\{(1; -5), (4; -2)\}$.

Сравнив полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту C.

Ответ: C) $\{(1; -5), (4; -2)\}$.