Номер 12, страница 69, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12. Найдите область определения функции $y = \frac{\sqrt{x^3 - 4x}}{x}:

A) $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty);$

B) $[ -2; 0) \cup (0; 2];$

C) $(-\infty, 0] \cup (0, +\infty);$

D) $[ -2; 0) \cup (0; +\infty\text{]};$

E) $( -2; 0) \cup (2; +\infty).$

Решение

Область определения функции (ОДЗ) – это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Для данной функции $y = \frac{\sqrt{x^3 - 4x}}{x}$ должны одновременно выполняться два условия:

1. Выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным (больше или равно нулю), так как извлекать квадратный корень из отрицательного числа в области действительных чисел нельзя.
$x^3 - 4x \ge 0$

2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю, так как на ноль делить нельзя.
$x \neq 0$

Рассмотрим и решим первое условие – неравенство:
$x^3 - 4x \ge 0$

Для решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 4) \ge 0$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к выражению в скобках:
$x(x - 2)(x + 2) \ge 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x(x - 2)(x + 2) = 0$.
Корнями являются значения $x_1 = -2$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$.

Отметим эти точки на числовой оси. Они разбивают ось на четыре промежутка: $(-\infty; -2]$, $[-2; 0]$, $[0; 2]$ и $[2; +\infty)$. Определим знак выражения $x(x - 2)(x + 2)$ на каждом из интервалов, подставив любое значение из этого интервала:
- интервал $(2; +\infty)$: возьмем $x=3 \implies 3(3-2)(3+2) = 3 \cdot 1 \cdot 5 = 15 > 0$. Знак «+».
- интервал $(0; 2)$: возьмем $x=1 \implies 1(1-2)(1+2) = 1 \cdot (-1) \cdot 3 = -3 < 0$. Знак «-».
- интервал $(-2; 0)$: возьмем $x=-1 \implies -1(-1-2)(-1+2) = (-1) \cdot (-3) \cdot 1 = 3 > 0$. Знак «+».
- интервал $(-\infty; -2)$: возьмем $x=-3 \implies -3(-3-2)(-3+2) = (-3) \cdot (-5) \cdot (-1) = -15 < 0$. Знак «-».

Так как неравенство имеет вид $\ge 0$, нас интересуют промежутки со знаком «+». Учитывая, что неравенство нестрогое, точки $-2$, $0$ и $2$ включаются в решение. Таким образом, решение первого неравенства: $x \in [-2; 0] \cup [2; +\infty)$.

Теперь объединим это решение со вторым условием: $x \neq 0$.
Мы должны исключить точку $x=0$ из множества $x \in [-2; 0] \cup [2; +\infty)$.
Исключение точки $x=0$ из отрезка $[-2; 0]$ дает нам полуинтервал $[-2; 0)$. Промежуток $[2; +\infty)$ не содержит $0$, поэтому он не изменяется.

Итоговая область определения функции является объединением полученных промежутков: $D(y) = [-2; 0) \cup [2; +\infty)$.

Сравним полученный результат с предложенными вариантами. Ни один из вариантов A, B, C, D, E не соответствует найденной области определения. Правильный ответ отсутствует среди предложенных вариантов.

Ответ: $[-2; 0) \cup [2; +\infty)$.