Номер 17, страница 70, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17. Определите, на каком из рисунков изображено графическое решение системы уравнений $ \begin{cases} (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25, \\ y = x^2 - 4: \end{cases} $

A) B) C) D)

Дано:

Система уравнений: $ \begin{cases} (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \\ y = x^2 - 4 \end{cases} $

Найти:

Рисунок, на котором изображено графическое решение данной системы уравнений.

Решение:

Для того чтобы определить правильный график, необходимо проанализировать каждое уравнение системы и определить параметры соответствующих геометрических фигур.

Первое уравнение, $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$, является уравнением окружности в стандартной форме $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$. Из этого уравнения можно определить координаты центра $(h, k)$ и радиус $r$. В нашем случае $h = 3$ и $k = -2$, значит, центр окружности находится в точке $(3, -2)$. Квадрат радиуса $r^2 = 25$, следовательно, радиус $r = \sqrt{25} = 5$.

Второе уравнение, $y = x^2 - 4$, является уравнением параболы. Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх. Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ можно найти по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. Для уравнения $y = x^2 - 4$ имеем $a=1, b=0, c=-4$. $x_v = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$. Подставив $x_v = 0$ в уравнение параболы, найдем $y_v$: $y_v = 0^2 - 4 = -4$. Следовательно, вершина параболы находится в точке $(0, -4)$.

Теперь сопоставим полученные данные с предложенными графиками. Нам необходимо найти график, на котором изображена окружность с центром в точке $(3, -2)$ и радиусом $5$, а также парабола с вершиной в точке $(0, -4)$ и ветвями, направленными вверх.

- Рисунок A: Центр окружности находится в первой координатной четверти (x>0, y>0), а не в точке $(3, -2)$. Неверно.

- Рисунок B: Центр окружности находится во второй координатной четверти (x<0, y>0). Неверно.

- Рисунок C: Центр окружности находится в начале координат $(0, 0)$. Неверно.

- Рисунок D: Центр окружности находится в точке $(3, -2)$. Радиус равен 5 (например, расстояние от центра $(3, -2)$ до точки на окружности $(8, -2)$ равно $8-3=5$). Вершина параболы находится в точке $(0, -4)$, и ее ветви направлены вверх. Этот график полностью соответствует результатам нашего анализа.

Ответ: D