Номер 23, страница 72, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23. Какая из систем имеет решение:

A) $\begin{cases} x^2 + y^2 = -3, \\ x + y = 2; \end{cases}$

B) $\begin{cases} x + y = 2, \\ xy = 2; \end{cases}$

C) $\begin{cases} x^2 - y^2 = 3, \\ xy = 2; \end{cases}$

D) $\begin{cases} x - y = 1, \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = -1; \end{cases}$

E) $\begin{cases} \frac{x}{y} = 2, \\ xy = -2? \end{cases}$

A)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases}x^2 + y^2 = -3 \\x + y = 2\end{cases}$

В первом уравнении $x^2 + y^2 = -3$. Для любых действительных чисел $x$ и $y$ значения $x^2$ и $y^2$ являются неотрицательными, то есть $x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$. Следовательно, их сумма $x^2 + y^2$ также должна быть неотрицательной: $x^2 + y^2 \ge 0$. Уравнение $x^2 + y^2 = -3$ не имеет решений в действительных числах, так как неотрицательное число не может равняться отрицательному. Таким образом, вся система не имеет решений.

Ответ: система не имеет решений.

B)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases}x + y = 2 \\xy = 2\end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 2 - x$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$x(2 - x) = 2$

$2x - x^2 = 2$

$x^2 - 2x + 2 = 0$

Найдем дискриминант $D$ этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$. Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, система не имеет решений в действительных числах.

Ответ: система не имеет решений.

C)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases}x^2 - y^2 = 3 \\xy = 2\end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$ (заметим, что $x \ne 0$ и $y \ne 0$, иначе $xy=0$): $y = \frac{2}{x}$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$x^2 - (\frac{2}{x})^2 = 3$

$x^2 - \frac{4}{x^2} = 3$

Умножим обе части уравнения на $x^2$, чтобы избавиться от знаменателя:

$x^4 - 4 = 3x^2$

$x^4 - 3x^2 - 4 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$ (где $t \ge 0$):

$t^2 - 3t - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$ с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корни этого уравнения: $t_1 = 4$ и $t_2 = -1$.

Так как $t = x^2$, значение $t$ не может быть отрицательным, поэтому корень $t_2 = -1$ не подходит. Остается $t_1 = 4$.

Вернемся к переменной $x$: $x^2 = 4$, откуда $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = \frac{2}{x_1} = \frac{2}{2} = 1$.

Если $x_2 = -2$, то $y_2 = \frac{2}{x_2} = \frac{2}{-2} = -1$.

Таким образом, система имеет два действительных решения: $(2, 1)$ и $(-2, -1)$.

Ответ: система имеет решения.

D)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases}x - y = 1 \\\sqrt{x} + \sqrt{y} = -1\end{cases}$

Во втором уравнении $\sqrt{x} + \sqrt{y} = -1$. По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{x} \ge 0$ и $\sqrt{y} \ge 0$ для любых допустимых значений $x$ и $y$ (т.е. $x \ge 0, y \ge 0$). Сумма двух неотрицательных чисел также является неотрицательной: $\sqrt{x} + \sqrt{y} \ge 0$. Уравнение $\sqrt{x} + \sqrt{y} = -1$ не может иметь решений в действительных числах, так как неотрицательное число не может равняться отрицательному. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: система не имеет решений.

E)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases}\frac{x}{y} = 2 \\xy = -2\end{cases}$

Из первого уравнения следует, что $y \ne 0$. Выразим $x$ из первого уравнения: $x = 2y$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$(2y)y = -2$

$2y^2 = -2$

$y^2 = -1$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Уравнение $y^2 = -1$ не имеет решений в действительных числах. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: система не имеет решений.