Номер 7.11, страница 80, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.11. Имеется 20 прямоугольников, ромбов и квадратов. Из них 14 являются ромбами, 9 — прямоугольниками. Сколько всего квадратов?

Для решения этой задачи воспользуемся теорией множеств и диаграммами Венна. Ключевым моментом является понимание взаимосвязи между геометрическими фигурами.

1. Определения и взаимосвязи:

• Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы прямые.
• Ромб — это четырехугольник, у которого все стороны равны.
• Квадрат — это четырехугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны. Таким образом, квадрат является одновременно и прямоугольником, и ромбом.

2. Формализация задачи:

Пусть:

• $A$ — множество всех прямоугольников.
• $B$ — множество всех ромбов.
• $C$ — множество всех квадратов.

Из определений следует, что множество квадратов является пересечением множеств прямоугольников и ромбов: $C = A \cap B$. Нам нужно найти количество квадратов, то есть мощность этого пересечения $|A \cap B|$.

По условию задачи нам дано:

• Общее количество фигур — 20. Так как любая из фигур является либо прямоугольником, либо ромбом (учитывая, что квадраты входят в обе категории), это число представляет собой мощность объединения множеств $A$ и $B$: $|A \cup B| = 20$.
• Количество прямоугольников: $|A| = 9$.
• Количество ромбов: $|B| = 14$.

3. Использование формулы включений-исключений:

Для двух множеств формула для нахождения числа элементов в их объединении выглядит так:

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

Мы можем выразить из этой формулы искомое количество элементов в пересечении (число квадратов):

$|A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B|$

4. Вычисление:

Подставим известные значения в формулу:

$|A \cap B| = 9 + 14 - 20$

$|A \cap B| = 23 - 20$

$|A \cap B| = 3$

Таким образом, количество квадратов равно 3.

5. Проверка и наглядное представление:

Можно представить эту задачу с помощью диаграммы Венна:

Из диаграммы видно:

• Количество фигур, являющихся только прямоугольниками (но не ромбами): $|A| - |A \cap B| = 9 - 3 = 6$.
• Количество фигур, являющихся только ромбами (но не прямоугольниками): $|B| - |A \cap B| = 14 - 3 = 11$.
• Количество квадратов (и прямоугольники, и ромбы): $|A \cap B| = 3$.

Общее число фигур: $6$ (только прямоугольники) $+ 11$ (только ромбы) $+ 3$ (квадраты) $= 20$. Это соответствует условию задачи.

Ответ: 3.