Номер 7.18, страница 81, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.18. Покажите штриховкой множество точек координатной плоскости, заданное системой неравенств:

1) $ \begin{cases} |x| \ge 4; \\ y + 2x < 3; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} y^2 + x^2 - 9 \le 0; \\ y - 2|x| > 0; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} |x| \le 2, \\ x^2 + y^2 - 16 \ge 0. \end{cases} $

1) Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} |x| \ge 4 \\ y + 2x < 3 \end{cases} $$ Первое неравенство, $|x| \ge 4$, равносильно совокупности двух неравенств: $x \ge 4$ или $x \le -4$. На координатной плоскости это множество точек, расположенных правее прямой $x=4$ и левее прямой $x=-4$, включая сами прямые. Границы $x=4$ и $x=-4$ будут сплошными.
Второе неравенство, $y + 2x < 3$, преобразуем к виду $y < -2x + 3$. Это множество точек, лежащих ниже прямой $y = -2x + 3$. Сама прямая не входит в решение, поэтому она будет изображена пунктирной линией.
Решением системы является пересечение этих множеств — заштрихованная область на рисунке, которая находится одновременно в полуплоскостях $x \ge 4$ или $x \le -4$ и в полуплоскости $y < -2x + 3$.

Ответ: Заштрихованная область на рисунке, ограниченная сплошными линиями $x=-4$, $x=4$ и пунктирной линией $y = -2x + 3$.

2) Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} y^2 + x^2 - 9 \le 0 \\ |y - 2|x|| > 0 \end{cases} $$ Первое неравенство, $y^2 + x^2 - 9 \le 0$, можно записать в виде $x^2 + y^2 \le 3^2$. Это неравенство задает круг с центром в начале координат (0,0) и радиусом 3, включая его границу.
Второе неравенство, $|y - 2|x|| > 0$, выполняется для всех точек, для которых выражение под модулем не равно нулю, то есть $y - 2|x| \neq 0$, или $y \neq 2|x|$. Это означает, что из решения нужно исключить точки, лежащие на графике функции $y = 2|x|$. Этот график представляет собой "галочку", состоящую из двух лучей: $y=2x$ при $x \ge 0$ и $y=-2x$ при $x < 0$.
Решением системы является круг радиуса 3 с центром в начале координат, из которого удалены точки, принадлежащие графику $y=2|x|$. На рисунке эти удаленные линии показаны пунктиром.

Ответ: Круг радиуса 3 с центром в начале координат, включая границу, из которого исключены точки, лежащие на лучах $y=2x$ при $x \ge 0$ и $y=-2x$ при $x < 0$.

3) Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} |x| \le 2 \\ x^2 + y^2 - 16 \ge 0 \end{cases} $$ Первое неравенство, $|x| \le 2$, равносильно двойному неравенству $-2 \le x \le 2$. Оно задает вертикальную полосу на координатной плоскости, заключенную между прямыми $x=-2$ и $x=2$, включая сами прямые.
Второе неравенство, $x^2 + y^2 - 16 \ge 0$, можно записать как $x^2 + y^2 \ge 4^2$. Оно задает множество точек, находящихся вне круга с центром в начале координат (0,0) и радиусом 4, а также на его границе.
Решением системы является пересечение этих двух множеств: часть вертикальной полосы $-2 \le x \le 2$, которая лежит вне круга $x^2+y^2=16$ или на его границе.

Ответ: Две заштрихованные области, ограниченные сплошными линиями $x=-2$, $x=2$ и дугами окружности $x^2+y^2=16$.