Вопросы, страница 84, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Что означает символ $n!$?

2. Что означают записи $(x_1, x_2)$ и $\{x_1, x_2\}$?

3. В чем сходство и различие перестановок и размещений без повторений?

4. В каких случаях используют перестановки без повторений?

5. В каких случаях используют размещения без повторений?

1. Что означает символ n!?Символ $n!$ (читается как «эн факториал») обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно. Факториал является основной функцией в комбинаторике, особенно при вычислении числа перестановок.
Формула для вычисления факториала:$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n$.
Например, факториал числа 5 вычисляется так: $5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$.
По определению, факториал нуля равен единице: $0! = 1$.
Ответ: Символ $n!$ обозначает факториал числа $n$ — произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.

2. Что означают записи $(x_1, x_2)$ и $\{x_1, x_2\}$?Запись $(x_1, x_2)$ — это упорядоченная пара или кортеж. В такой записи важен порядок следования элементов. Это означает, что в общем случае кортеж $(x_1, x_2)$ не равен кортежу $(x_2, x_1)$, если $x_1 \neq x_2$. Упорядоченные пары используются для обозначения размещений, координат на плоскости и в других случаях, где порядок имеет значение.
Запись $\{x_1, x_2\}$ — это множество, состоящее из двух элементов. В множестве порядок элементов не имеет значения, важен только сам факт наличия элемента в множестве. Поэтому множество $\{x_1, x_2\}$ всегда равно множеству $\{x_2, x_1\}$. Множества используются для обозначения сочетаний и в других ситуациях, где порядок не важен.
Ответ: $(x_1, x_2)$ — это упорядоченная пара (кортеж), где важен порядок элементов, а $\{x_1, x_2\}$ — это множество, где порядок элементов не важен.

3. В чем сходство и различие перестановок и размещений без повторений?Сходство: И перестановки, и размещения без повторений являются комбинаторными соединениями, в которых важен порядок расположения элементов. Оба понятия оперируют с множествами, элементы которых не повторяются (каждый элемент можно использовать только один раз).
Различие: Ключевое различие заключается в количестве используемых элементов из исходного множества.
Перестановки — это комбинации, которые включают все $n$ элементов исходного множества. Они отличаются друг от друга только порядком следования этих $n$ элементов. Число перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$.
Размещения — это комбинации, которые составляются из части исходного множества, то есть из $k$ элементов, выбранных из $n$ доступных (где $k \le n$). Размещения отличаются как составом выбранных $k$ элементов, так и их порядком. Число размещений из $n$ по $k$ вычисляется по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
Таким образом, перестановки являются частным случаем размещений, когда выбираются все элементы, то есть $k=n$. В этом случае $A_n^n = \frac{n!}{(n-n)!} = \frac{n!}{0!} = n! = P_n$.
Ответ: Сходство — в обоих случаях важен порядок элементов и элементы не повторяются. Различие — в перестановках используются все элементы множества ($n$ из $n$), а в размещениях — только их часть ($k$ из $n$).

4. В каких случаях используют перестановки без повторений?Перестановки без повторений используют в задачах, где необходимо найти количество способов, которыми можно упорядочить все элементы некоторого конечного множества. Главные условия для применения формулы перестановок: в каждой комбинации участвуют все элементы исходного множества и комбинации отличаются только порядком следования элементов.
Примеры задач:
- Сколькими способами можно расставить 7 разных книг на полке? (Ответ: $P_7 = 7! = 5040$)
- Сколько различных "слов" можно составить, переставляя буквы в слове "МЕТОД"? (Все 5 букв разные, поэтому ответ: $P_5 = 5! = 120$)
- Сколькими способами 5 человек могут выстроиться в очередь в кассу? (Ответ: $P_5 = 5! = 120$)
Ответ: Перестановки без повторений используются, когда нужно найти число всех возможных упорядочиваний (расположений) для полного набора различных объектов.

5. В каких случаях используют размещения без повторений?Размещения без повторений используют в задачах, где из множества, содержащего $n$ различных элементов, нужно выбрать $k$ элементов и расположить их в определённом порядке. Ключевые условия для применения формулы размещений: выбирается подмножество (часть элементов), и для этого подмножества важен порядок расположения элементов.
Примеры задач:
- Из 10 спортсменов нужно выбрать троих для награждения золотой, серебряной и бронзовой медалями. (Выбираем 3 из 10, и порядок важен, так как "Иванов-золото, Петров-серебро" — не то же самое, что "Петров-золото, Иванов-серебро". Ответ: $A_{10}^3 = \frac{10!}{(10-3)!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$)
- Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если цифры в числе не должны повторяться? (Выбираем 3 цифры из 5, и их порядок важен, так как 123 и 321 — разные числа. Ответ: $A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$)
- В классе 25 учеников. Сколькими способами можно выбрать старосту и его заместителя? (Выбираем 2 из 25, порядок важен, так как "Анна-староста, Борис-заместитель" — это один вариант, а "Борис-староста, Анна-заместитель" — другой. Ответ: $A_{25}^2 = \frac{25!}{(25-2)!} = 25 \cdot 24 = 600$)
Ответ: Размещения без повторений используются, когда из $n$ объектов нужно выбрать $k$ и расположить их по $k$ разным местам, то есть когда важен не только состав выборки, но и порядок элементов в ней.