Номер 8.1, страница 84, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.1. 1) По какой формуле вычисляется число перестановок без повторений из $n$ элементов?

2) По какой формуле вычисляется число размещений без повторений из $n$ элементов по $k$?

1)Число перестановок без повторений из $n$ элементов — это количество различных упорядоченных наборов, которые можно составить из всех $n$ элементов данного множества. При этом каждый элемент используется ровно один раз. Обозначается это число как $P_n$.
Для нахождения этого числа рассуждают следующим образом: на первое место в упорядоченном наборе можно поставить любой из $n$ элементов. На второе место — любой из оставшихся $n-1$ элементов. На третье — любой из $n-2$ элементов, и так далее. На последнее, $n$-е место, можно поставить только один оставшийся элемент. По правилу умножения в комбинаторике, общее количество таких способов равно произведению:
$n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1$
Это произведение называется факториалом числа $n$ и обозначается как $n!$. Таким образом, формула для вычисления числа перестановок без повторений из $n$ элементов имеет вид:
$P_n = n!$

Ответ: $P_n = n!$

2)Число размещений без повторений из $n$ элементов по $k$ — это количество способов выбрать $k$ элементов из $n$ имеющихся и расположить их в определённом порядке. Здесь, в отличие от перестановок, выбирается только подмножество из $k$ элементов ($k \le n$), и важен порядок их следования. Обозначается это число как $A_n^k$.
Рассуждения для вывода формулы аналогичны: на первое место можно выбрать любой из $n$ элементов. На второе — любой из $n-1$ оставшихся, и так далее. На $k$-е место можно выбрать любой из $n-(k-1) = n-k+1$ элементов. Общее число способов равно произведению:
$A_n^k = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot (n-k+1)$
Эту же формулу можно записать в более компактном виде с использованием факториалов. Для этого умножим и разделим выражение на $(n-k)!$:
$A_n^k = \frac{n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot (n-k+1) \cdot (n-k)!}{(n-k)!} = \frac{n!}{(n-k)!}$
Таким образом, формула для вычисления числа размещений без повторений из $n$ элементов по $k$ следующая:

Ответ: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$