Номер 8.3, страница 84, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.3. Найдите:

1) число перестановок цифр, изменяющих число 3334;

2) число перестановок цифр, не изменяющих число 3334;

3) число перестановок букв, не изменяющих слово комбинаторика.

1) число перестановок цифр, изменяющих число 3334

Чтобы найти число перестановок цифр, изменяющих число 3334, сначала найдем общее число перестановок четырех цифр, а затем вычтем из него число перестановок, которые не изменяют число.

Общее число перестановок четырех элементов (если бы они все были различны) равно $4!$.
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

Перестановка не изменяет число, если переставляются только тождественные элементы. В числе 3334 есть три одинаковые цифры «3». Число перестановок, которые можно совершить только между этими тремя цифрами, равно $3!$.
$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
Эти 6 перестановок не изменяют исходное число 3334.

Число перестановок, которые изменяют число, равно разности общего числа перестановок и числа перестановок, не изменяющих его:
$N_{изм} = 4! - 3! = 24 - 6 = 18$.

Ответ: 18

2) число перестановок цифр, не изменяющих число 3334

Перестановка цифр не изменяет число, если мы меняем местами только одинаковые цифры.

В числе 3334 имеются три одинаковые цифры «3» и одна цифра «4».

Чтобы число не изменилось, мы можем переставлять только три цифры «3» между собой. Число способов сделать это равно числу перестановок из трех элементов, то есть $3!$.
$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

Цифра «4» всего одна, поэтому для нее существует только $1! = 1$ перестановка (она остается на своем месте).

Общее число перестановок, не изменяющих число 3334, равно $3! \times 1! = 6$.

Ответ: 6

3) число перестановок букв, не изменяющих слово комбинаторика

Задача аналогична предыдущей. Перестановка букв не изменяет слово, если мы переставляем местами только одинаковые буквы.

Сначала подсчитаем количество каждой буквы в слове «комбинаторика» (всего в слове 13 букв):
«к» – 2 раза
«о» – 2 раза
«м» – 1 раз
«б» – 1 раз
«и» – 2 раза
«н» – 1 раз
«а» – 2 раза
«т» – 1 раз
«р» – 1 раз

Число перестановок, не изменяющих слово, равно произведению факториалов количеств каждой повторяющейся буквы.
Для буквы «к» (2 шт.): $2! = 2$ перестановки.
Для буквы «о» (2 шт.): $2! = 2$ перестановки.
Для буквы «и» (2 шт.): $2! = 2$ перестановки.
Для буквы «а» (2 шт.): $2! = 2$ перестановки.
Для букв «м», «б», «н», «т», «р», которые встречаются по одному разу, число перестановок для каждой равно $1! = 1$.

Общее число перестановок, не изменяющих слово, равно произведению этих значений:
$N = 2! \times 2! \times 2! \times 2! \times 1! \times 1! \times 1! \times 1! \times 1! = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$.

Ответ: 16