Номер 8.13, страница 85, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.13. Найдите наибольшее натуральное число, удовлетворяющее неравенству:

1) $(4 - x)(x - 6)^2 > 0;$

2) $(x - 3)^2(x - 10) \le 0;$

3) $\frac{x^2 - 81}{x + 5} < 0;$

4) $\frac{13x - x^2}{x - 5,5} \ge 0.$

1)Решим неравенство $(4 - x)(x - 6)² > 0$. Множитель $(x - 6)²$ неотрицателен при любых значениях $x$. Поскольку неравенство строгое, то левая часть не может быть равна нулю, следовательно, $x - 6 \ne 0$, то есть $x \ne 6$. При $x \ne 6$ множитель $(x - 6)²$ всегда положителен. Значит, знак всего выражения зависит от знака множителя $(4 - x)$. Для выполнения неравенства требуется, чтобы $4 - x > 0$. Решая это линейное неравенство, получаем $x < 4$. Таким образом, решением исходного неравенства является интервал $(-\infty; 4)$. Нам необходимо найти наибольшее натуральное число, удовлетворяющее этому условию. Натуральные числа, которые меньше 4, — это 1, 2, 3. Наибольшее из них равно 3.
Ответ: 3

2)Решим неравенство $(x - 3)²(x - 10) \le 0$. Множитель $(x - 3)²$ всегда неотрицателен. Неравенство будет выполняться в двух случаях:
а) Произведение равно нулю. Это происходит, когда один из множителей равен нулю: $x - 3 = 0$ или $x - 10 = 0$. Отсюда получаем корни $x = 3$ и $x = 10$. Оба этих числа являются натуральными и входят в решение.
б) Произведение отрицательно. Для этого необходимо, чтобы множители имели разные знаки. Так как $(x - 3)² > 0$ при $x \ne 3$, то второй множитель должен быть отрицательным: $x - 10 < 0$, что дает $x < 10$.
Объединяя все условия, получаем, что решение неравенства — это множество $x \in (-\infty, 10]$. Нам нужно найти наибольшее натуральное число из этого множества. Таким числом является 10.
Ответ: 10

3)Решим неравенство $\frac{x^2 - 81}{x + 5} < 0$. Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов: $x^2 - 81 = (x - 9)(x + 9)$. Неравенство примет вид $\frac{(x - 9)(x + 9)}{x + 5} < 0$. Решим его методом интервалов. Найдем нули числителя ($x = 9, x = -9$) и нуль знаменателя ($x = -5$). Отметим эти точки на числовой оси (все точки выколотые, так как неравенство строгое).

Определим знаки выражения на интервалах: $(-\infty; -9)$, $(-9; -5)$, $(-5; 9)$, $(9; +\infty)$. Выражение отрицательно на интервалах $(-\infty; -9)$ и $(-5; 9)$. Решением неравенства является объединение этих интервалов: $x \in (-\infty; -9) \cup (-5; 9)$. Нам нужно найти наибольшее натуральное число из этого решения. Натуральные числа содержатся только в интервале $(-5; 9)$. Это числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Наибольшее из них — 8.
Ответ: 8

4)Решим неравенство $\frac{13x - x^2}{x - 5,5} \ge 0$. Вынесем $x$ в числителе за скобки: $\frac{x(13 - x)}{x - 5,5} \ge 0$. Чтобы избавиться от минуса при старшей степени в числителе, умножим обе части неравенства на -1 и сменим знак на противоположный: $\frac{x(x - 13)}{x - 5,5} \le 0$. Решим полученное неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x = 0, x = 13$. Нуль знаменателя: $x = 5,5$. Нули числителя входят в решение (точки закрашенные), нуль знаменателя — нет (точка выколотая).

Определим знаки выражения $\frac{x(x - 13)}{x - 5,5}$ на интервалах. Выражение отрицательно или равно нулю на множестве $(-\infty; 0] \cup (5,5; 13]$. Нам нужно найти наибольшее натуральное число из этого множества. Натуральные числа, входящие в решение, — это {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}. Наибольшее из них — 13.
Ответ: 13