Вопросы, страница 88, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Чем является сочетание без повторений из $n$ элементов некоторого множества по $k$ элементов для этого множества?

2. Что означает символ: $C_n^0$; $C_n^n$; $C_n^k$ ?

3. В чем сходство и различие сочетаний и размещений без повторений?

4. Сколько элементов в множестве, если у него всего 16 подмножеств?

1. Сочетанием без повторений из $n$ элементов некоторого множества по $k$ элементов ($k \le n$) называется любое подмножество этого множества, которое состоит из $k$ различных элементов. Ключевой особенностью сочетаний является то, что порядок следования элементов в подмножестве не имеет значения. Например, для множества {a, b, c} сочетаниями по 2 элемента являются {a, b}, {a, c}, {b, c}. Наборы {a, b} и {b, a} представляют собой одно и то же сочетание.
Ответ: Любое $k$-элементное подмножество данного $n$-элементного множества.

2. Это стандартные обозначения в комбинаторике для числа сочетаний без повторений.
• $C_n^k$ (читается "це из эн по ка") — это общее обозначение числа сочетаний без повторений из $n$ элементов по $k$ элементов. Оно показывает, сколькими способами можно выбрать $k$ элементов из множества, содержащего $n$ различных элементов. Вычисляется по формуле: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
• $C_n^0$ — это число способов выбрать 0 элементов из $n$. Логически, существует только один способ ничего не выбрать — это выбрать пустое множество. По формуле: $C_n^0 = \frac{n!}{0!(n-0)!} = \frac{n!}{1 \cdot n!} = 1$.
• $C_n^n$ — это число способов выбрать все $n$ элементов из $n$. Существует только один способ выбрать все элементы — взять всё множество целиком. По формуле: $C_n^n = \frac{n!}{n!(n-n)!} = \frac{n!}{n!0!} = 1$.
Ответ: $C_n^k$ – это символ, обозначающий число способов выбрать $k$ элементов из $n$ без учета порядка; $C_n^0=1$ – число способов выбрать 0 элементов; $C_n^n=1$ – число способов выбрать все $n$ элементов.

3. Сходство и различие этих понятий — одно из ключевых в комбинаторике.
Сходство: И сочетания, и размещения без повторений представляют собой выборки $k$ элементов из исходного множества, содержащего $n$ элементов. В обоих случаях элементы в выборке не могут повторяться.
Различие: Главное различие заключается в отношении к порядку элементов в выборке.
• Для размещений (обозначаются $A_n^k$) порядок элементов важен. Например, выборки {1, 2} и {2, 1} из множества {1, 2, 3} являются двумя разными размещениями.
• Для сочетаний (обозначаются $C_n^k$) порядок элементов неважен. Выборки {1, 2} и {2, 1} — это одно и то же сочетание.
Из-за этого число размещений из $n$ по $k$ всегда больше или равно числу сочетаний (равенство достигается при $k=0$ или $k=1$). Связь между ними выражается формулой: $A_n^k = k! \cdot C_n^k$.
Ответ: Сходство — в обоих случаях выбирают $k$ различных элементов из $n$. Различие — в размещениях важен порядок выбранных элементов, а в сочетаниях — нет.

4. Общее количество всех подмножеств для множества, содержащего $n$ элементов, вычисляется по формуле $2^n$. Это следует из того, что при формировании подмножества для каждого из $n$ элементов есть два варианта: либо включить его в подмножество, либо не включать.
По условию задачи, у множества всего 16 подмножеств. Следовательно, нам нужно решить уравнение:
$2^n = 16$
Чтобы найти $n$, представим 16 как степень двойки:
$16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$
Таким образом, уравнение принимает вид:
$2^n = 2^4$
Отсюда следует, что $n = 4$.
Ответ: 4 элемента.