Номер 9.4, страница 89, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.4. Решите уравнение:

1)$C_n^2 = 28;$

2)$C_n^{n-3} = 20;$

3)$C_n^{n-2} = 36.$

1) Решим уравнение $C_n^2 = 28$.
Формула для числа сочетаний из $n$ по $k$ имеет вид $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.По определению, $n$ должно быть натуральным числом, и должно выполняться условие $n \ge k$. В данном случае $n \ge 2$.
Применим формулу для $k=2$:
$C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}{2 \cdot 1 \cdot (n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$\frac{n(n-1)}{2} = 28$
$n(n-1) = 56$
$n^2 - n - 56 = 0$
Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225 = 15^2$.
Корни уравнения:
$n_1 = \frac{-(-1) + 15}{2 \cdot 1} = \frac{16}{2} = 8$
$n_2 = \frac{-(-1) - 15}{2 \cdot 1} = \frac{-14}{2} = -7$
Корень $n_2 = -7$ не является натуральным числом, поэтому он не является решением. Корень $n_1 = 8$ удовлетворяет условию $n \ge 2$.
Ответ: $n=8$.

2) Решим уравнение $C_n^{n-3} = 20$.
Используем свойство симметрии для числа сочетаний: $C_n^k = C_n^{n-k}$.
$C_n^{n-3} = C_n^{n-(n-3)} = C_n^3$.
Уравнение принимает вид: $C_n^3 = 20$.
По определению, $n$ должно быть натуральным числом и $n \ge 3$.
Распишем $C_n^3$ по формуле:
$C_n^3 = \frac{n!}{3!(n-3)!} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot (n-3)!} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$.
Подставим в уравнение:
$\frac{n(n-1)(n-2)}{6} = 20$
$n(n-1)(n-2) = 120$
Нам нужно найти три последовательных натуральных числа, произведение которых равно 120. Можно решить это уравнение подбором, учитывая, что $n \ge 3$.
Проверим несколько значений $n$:
При $n=4$: $4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$.
При $n=5$: $5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$.
При $n=6$: $6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$.
Таким образом, $n=6$ является решением уравнения. Так как функция $f(n) = n(n-1)(n-2)$ является возрастающей для $n \ge 3$, других натуральных корней нет.
Ответ: $n=6$.

3) Решим уравнение $C_n^{n-2} = 36$.
Используем свойство симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$:
$C_n^{n-2} = C_n^{n-(n-2)} = C_n^2$.
Уравнение принимает вид: $C_n^2 = 36$.
По определению, $n$ должно быть натуральным числом и $n \ge 2$.
Выражение для $C_n^2$ известно из пункта 1: $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$.
Подставим в уравнение:
$\frac{n(n-1)}{2} = 36$
$n(n-1) = 72$
$n^2 - n - 72 = 0$
Решим это квадратное уравнение.
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289 = 17^2$.
Корни уравнения:
$n_1 = \frac{-(-1) + 17}{2 \cdot 1} = \frac{18}{2} = 9$
$n_2 = \frac{-(-1) - 17}{2 \cdot 1} = \frac{-16}{2} = -8$
Корень $n_2 = -8$ не является натуральным числом, поэтому он не является решением. Корень $n_1 = 9$ удовлетворяет условию $n \ge 2$.
Ответ: $n=9$.