Номер 8.11, страница 85, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.11. 1) Значение суммы цифр положительного двузначного числа равно 13. Если от этого числа вычесть 27, то получим число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите данное число.

2) Значение суммы квадратов цифр положительного двузначного числа равно 13. Если от этого числа вычесть 9, то получим число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите данное число.

1)

Пусть искомое положительное двузначное число записывается как $10x + y$, где $x$ — это цифра десятков, а $y$ — цифра единиц. При этом $x$ и $y$ — целые числа, где $1 \le x \le 9$ и $0 \le y \le 9$.

По первому условию задачи, сумма цифр этого числа равна 13. Запишем это в виде уравнения:
$x + y = 13$

Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет иметь вид $10y + x$. По второму условию, если от исходного числа отнять 27, то получится это перевернутое число. Составим второе уравнение:
$(10x + y) - 27 = 10y + x$

Упростим второе уравнение, перенеся переменные в одну сторону, а числа в другую:
$10x - x + y - 10y = 27$
$9x - 9y = 27$
Разделим обе части уравнения на 9:
$x - y = 3$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$ \begin{cases} x + y = 13 \\ x - y = 3 \end{cases} $
Сложим эти два уравнения:
$(x + y) + (x - y) = 13 + 3$
$2x = 16$
$x = 8$
Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:
$8 + y = 13$
$y = 13 - 8$
$y = 5$

Таким образом, искомое число состоит из цифр $x=8$ и $y=5$, то есть это число 85.
Проверим: сумма цифр $8 + 5 = 13$. Разность $85 - 27 = 58$. Условия задачи выполняются.

Ответ: 85.

2)

Пусть искомое положительное двузначное число также записывается как $10x + y$, где $x$ — цифра десятков ($1 \le x \le 9$), а $y$ — цифра единиц ($0 \le y \le 9$).

Согласно первому условию, сумма квадратов его цифр равна 13:
$x^2 + y^2 = 13$

По второму условию, если от этого числа вычесть 9, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке ($10y + x$):
$(10x + y) - 9 = 10y + x$

Упростим второе уравнение:
$10x - x + y - 10y = 9$
$9x - 9y = 9$
Разделим обе части уравнения на 9:
$x - y = 1$

Теперь решим систему уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ x - y = 1 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $x$ через $y$: $x = y + 1$.
Подставим это выражение в первое уравнение системы:
$(y + 1)^2 + y^2 = 13$
$y^2 + 2y + 1 + y^2 = 13$
$2y^2 + 2y - 12 = 0$
Разделим обе части на 2, чтобы упростить:
$y^2 + y - 6 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $y$. Решим его, например, через теорему Виета. Ищем два числа, произведение которых равно -6, а сумма равна -1. Это числа 2 и -3.
$y_1 = 2$, $y_2 = -3$
Поскольку $y$ — это цифра, она не может быть отрицательной. Значит, единственное подходящее решение — это $y = 2$.
Теперь найдем $x$:
$x = y + 1 = 2 + 1 = 3$

Итак, искомое число состоит из цифр $x=3$ и $y=2$, то есть это число 32.
Проверим: сумма квадратов цифр $3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$. Разность $32 - 9 = 23$. Условия задачи выполняются.

Ответ: 32.