Номер 10.16, страница 94, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.16. Запишите в виде многочлена выражение:

1) $(2x - 3)^3 + 27 - (2x)^3 + 40x^2 - 1;$

2) $(1 - 2x)^3 + 8x^3 - 1;$

3) $(x - 2)^3 + 2(3x - 1)^2 + 10;$

4) $(3 - x^2)^2 + 6x^2 - 3x - 1.$

1) Чтобы записать выражение $(2x - 3)^3 + 27 - (2x)^3 + 40x^2 - 1$ в виде многочлена, раскроем скобки. Воспользуемся формулой куба разности $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ для выражения $(2x - 3)^3$, где $a = 2x$ и $b = 3$:

$(2x - 3)^3 = (2x)^3 - 3 \cdot (2x)^2 \cdot 3 + 3 \cdot 2x \cdot 3^2 - 3^3 = 8x^3 - 3 \cdot 4x^2 \cdot 3 + 6x \cdot 9 - 27 = 8x^3 - 36x^2 + 54x - 27$.

Также раскроем скобки в $(2x)^3 = 8x^3$.

Подставим полученные выражения в исходное:

$(8x^3 - 36x^2 + 54x - 27) + 27 - 8x^3 + 40x^2 - 1$.

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(8x^3 - 8x^3) + (-36x^2 + 40x^2) + 54x + (-27 + 27 - 1) = 0 + 4x^2 + 54x - 1 = 4x^2 + 54x - 1$.

Ответ: $4x^2 + 54x - 1$.

2) Рассмотрим выражение $(1 - 2x)^3 + 8x^3 - 1$.

Применим формулу куба разности $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ к $(1 - 2x)^3$, где $a = 1$ и $b = 2x$:

$(1 - 2x)^3 = 1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot (2x) + 3 \cdot 1 \cdot (2x)^2 - (2x)^3 = 1 - 6x + 3 \cdot 4x^2 - 8x^3 = 1 - 6x + 12x^2 - 8x^3$.

Подставим результат в исходное выражение:

$(1 - 6x + 12x^2 - 8x^3) + 8x^3 - 1$.

Приведем подобные слагаемые:

$(-8x^3 + 8x^3) + 12x^2 - 6x + (1 - 1) = 12x^2 - 6x$.

Ответ: $12x^2 - 6x$.

3) Запишем в виде многочлена выражение $(x - 2)^3 + 2(3x - 1)^2 + 10$.

Для этого раскроем обе скобки по отдельности. Сначала куб разности $(x - 2)^3$ по формуле $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:

$(x - 2)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$.

Затем квадрат разности $(3x - 1)^2$ по формуле $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(3x - 1)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 1 + 1^2 = 9x^2 - 6x + 1$.

Теперь подставим раскрытые скобки в исходное выражение:

$(x^3 - 6x^2 + 12x - 8) + 2(9x^2 - 6x + 1) + 10$.

Раскроем скобки, умножив второй многочлен на 2:

$x^3 - 6x^2 + 12x - 8 + 18x^2 - 12x + 2 + 10$.

Приведем подобные слагаемые:

$x^3 + (-6x^2 + 18x^2) + (12x - 12x) + (-8 + 2 + 10) = x^3 + 12x^2 + 4$.

Ответ: $x^3 + 12x^2 + 4$.

4) Преобразуем выражение $(3 - x^2)^2 + 6x^2 - 3x - 1$ в многочлен.

Раскроем скобки $(3 - x^2)^2$ по формуле квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 3$ и $b = x^2$:

$(3 - x^2)^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot x^2 + (x^2)^2 = 9 - 6x^2 + x^4$.

Подставим результат в исходное выражение:

$(9 - 6x^2 + x^4) + 6x^2 - 3x - 1$.

Приведем подобные слагаемые, расположив их по убыванию степеней $x$:

$x^4 + (-6x^2 + 6x^2) - 3x + (9 - 1) = x^4 - 3x + 8$.

Ответ: $x^4 - 3x + 8$.