Страница 93, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

10.7. На графике функции $y = ax^2 + bx + c$ последовательно отмечены точки $A_1, A_2, \ldots, A_{11}, A_{12}$. Найдите:

1) число отрезков с концами в этих точках;

2) число треугольников с вершинами в этих точках.

1) число отрезков с концами в этих точках;
На графике функции дано 12 различных точек: $A_1, A_2, ..., A_{12}$.
Отрезок однозначно определяется двумя точками, которые являются его концами. Порядок выбора точек не имеет значения (отрезок $A_1A_2$ — это тот же самый отрезок, что и $A_2A_1$). Следовательно, задача сводится к нахождению числа способов выбрать 2 точки из 12 имеющихся. Это является классической задачей на нахождение числа сочетаний.
Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
В нашем случае общее число точек $n = 12$, а для построения отрезка нужно выбрать $k = 2$ точки.
Подставляем значения в формулу:
$C_{12}^2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2! \cdot 10!} = \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1} = 6 \cdot 11 = 66$.
Таким образом, можно построить 66 отрезков.
Ответ: 66

2) число треугольников с вершинами в этих точках.
Треугольник определяется тремя точками, которые не лежат на одной прямой (являются неколлинеарными).
Все 12 точек лежат на графике квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, который является параболой (при условии, что $a \neq 0$). Любая прямая может пересекать параболу не более чем в двух точках. Это означает, что никакие три точки, взятые на параболе, не могут быть коллинеарными.
Следовательно, любые три точки из данных 12 образуют треугольник. Задача сводится к нахождению числа способов выбрать 3 точки из 12.
Мы снова используем формулу для числа сочетаний, где $n = 12$, а для построения треугольника нужно выбрать $k = 3$ точки.
Подставляем значения в формулу:
$C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3! \cdot 9!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{1320}{6} = 220$.
Таким образом, можно построить 220 треугольников.
Ответ: 220

10.8. Абонент забыл последние 2 цифры номера телефона. Какое максимальное число номеров ему нужно перебрать, если он знает, что две последние цифры различны?

Для решения задачи необходимо определить количество возможных комбинаций для двух последних цифр телефонного номера при условии, что эти цифры различны. Всего существует 10 цифр (от 0 до 9).

Рассмотрим два способа решения.

Способ 1: Использование правила умножения

Пусть нам нужно выбрать две цифры, которые займут предпоследнюю и последнюю позиции в номере.Для выбора предпоследней цифры есть 10 вариантов (любая цифра от 0 до 9).После того как предпоследняя цифра выбрана, для последней цифры остается 9 вариантов, так как она не должна совпадать с первой (согласно условию, что цифры различны).Общее число возможных комбинаций находится перемножением числа вариантов для каждой позиции:

$N = 10 \times 9 = 90$

Способ 2: Использование формулы размещений

Данная задача сводится к нахождению числа размещений из 10 элементов (цифр) по 2, поскольку важен порядок цифр и они не должны повторяться. Формула для числа размещений без повторений из $n$ по $k$ выглядит так:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае $n=10$ (общее количество цифр) и $k=2$ (количество позиций, которые нужно заполнить).

Подставим значения в формулу:

$A_{10}^2 = \frac{10!}{(10-2)!} = \frac{10!}{8!} = \frac{10 \times 9 \times 8!}{8!} = 10 \times 9 = 90$

Максимальное число номеров, которое ему нужно перебрать, равно общему числу возможных вариантов, так как в худшем случае правильная комбинация будет найдена последней.

Ответ: 90

10.9. Сколько существует четырехзначных чисел, у которых все цифры различны?

Для решения этой задачи необходимо найти количество четырехзначных чисел, все цифры в которых различны. Будем определять количество вариантов для каждой цифры последовательно, с учетом заданных ограничений.

Четырехзначное число состоит из четырех цифр, занимающих разряды тысяч, сотен, десятков и единиц.

1. На место первой цифры (разряд тысяч) можно поставить любую цифру от 1 до 9. Ноль использовать нельзя, так как в этом случае число не будет четырехзначным. Таким образом, у нас есть 9 вариантов для первой цифры.

2. На место второй цифры (разряд сотен) можно поставить любую из 10 цифр (от 0 до 9), но она не должна повторять первую. Поскольку одна цифра уже использована, остается $10 - 1 = 9$ вариантов.

3. На место третьей цифры (разряд десятков) можно поставить любую цифру, которая не совпадает с первыми двумя. Так как две различные цифры уже заняты, остается $10 - 2 = 8$ вариантов.

4. На место четвертой цифры (разряд единиц) можно поставить любую из оставшихся цифр. Три цифры уже использованы, поэтому остается $10 - 3 = 7$ вариантов.

Чтобы найти общее количество таких чисел, необходимо перемножить количество вариантов для каждой позиции, используя комбинаторное правило произведения:

Количество чисел = $9 \times 9 \times 8 \times 7$

Выполним вычисления:

$9 \times 9 = 81$

$81 \times 8 = 648$

$648 \times 7 = 4536$

Следовательно, существует 4536 четырехзначных чисел, у которых все цифры различны.

Ответ: 4536

10.10. В лифт 9-этажного дома зашли 3 человека. Сколькими способами они могут распределиться по этажам дома, если на первых трех этажах лифт не останавливается?

По условию задачи, в лифт 9-этажного дома зашли 3 человека. Лифт не останавливается на первых трех этажах. Это означает, что пассажиры могут выйти на любом этаже, начиная с 4-го и заканчивая 9-м.

Сначала определим количество этажей, на которых возможен выход. Общее количество этажей – 9. Этажи, на которых выход невозможен, – 1, 2, 3.

Количество доступных для выхода этажей равно: $9 - 3 = 6$

Это этажи: 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Теперь рассмотрим каждого из трех человек. Каждый человек может выбрать любой из 6 доступных этажей для выхода. Так как выбор этажа каждым человеком является независимым событием, мы можем использовать правило умножения.

• Первый человек имеет 6 вариантов выбора этажа.
• Второй человек также имеет 6 вариантов выбора этажа.
• Третий человек тоже имеет 6 вариантов выбора этажа.

Общее количество способов, которыми они могут распределиться по этажам, равно произведению числа вариантов для каждого человека. Данная задача является примером нахождения числа размещений с повторениями.

Формула для числа размещений с повторениями из $n$ элементов по $k$ выглядит так: $\bar{A}_n^k = n^k$.

В нашем случае, $n=6$ (количество доступных этажей), а $k=3$ (количество человек).

Подставляем значения в формулу: $N = 6^3 = 6 \times 6 \times 6 = 36 \times 6 = 216$

Следовательно, существует 216 способов распределения 3 человек по доступным этажам.

Ответ: 216

10.11. На тренировках занимаются 12 баскетболистов, один из них капитан. Сколько может быть образовано тренером различных стартовых пятерок, если капитан команды входит в эту пятерку?

По условию задачи, на тренировках занимаются 12 баскетболистов. Необходимо составить стартовую пятерку (5 человек), в которую обязательно должен входить капитан команды.

Поскольку одно место в пятерке гарантированно занято капитаном, нам нужно добрать в команду еще $5 - 1 = 4$ игрока.

Выбирать этих 4 игроков мы будем из оставшихся баскетболистов. Так как капитан уже включен в команду, общее число кандидатов на оставшиеся места составляет $12 - 1 = 11$ человек.

Порядок, в котором мы выбираем игроков, не имеет значения, поэтому для решения задачи нужно использовать формулу числа сочетаний из $n$ по $k$:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае, $n = 11$ (число оставшихся игроков), а $k = 4$ (число свободных мест).

Подставляем значения в формулу и вычисляем количество возможных сочетаний:
$C_{11}^4 = \frac{11!}{4!(11-4)!} = \frac{11!}{4!7!}$

Расписываем факториалы для вычисления:
$C_{11}^4 = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7!}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 7!}$

Сокращаем $7!$ в числителе и знаменателе и производим вычисления:
$C_{11}^4 = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{7920}{24} = 330$

Таким образом, существует 330 способов сформировать стартовую пятерку, если в нее обязательно входит капитан.
Ответ: 330

10.12. В кафе в меню имеется 3 первых блюда, 4 вторых блюда и на выбор: кофе, чай, компот. Найдите число вариантов выбора посетителем своего ужина, состоящего из первого, второго блюда и напитка.

Для решения этой задачи используется правило умножения в комбинаторике. Ужин состоит из трех частей: первого блюда, второго блюда и напитка. Выбор каждой части ужина является независимым событием, поэтому общее число комбинаций можно найти, перемножив число вариантов для каждой части.

Определим количество вариантов для каждого элемента ужина:

1. Количество вариантов для первого блюда: $3$.

2. Количество вариантов для второго блюда: $4$.

3. Количество вариантов для напитка (кофе, чай, компот): $3$.

Чтобы найти общее число вариантов выбора ужина, нужно перемножить количество вариантов для каждой из его составляющих. Обозначим общее число вариантов как $N$.

$N = (\text{число вариантов первого блюда}) \times (\text{число вариантов второго блюда}) \times (\text{число вариантов напитка})$

Подставим числовые значения и произведем расчет:

$N = 3 \times 4 \times 3 = 36$

Таким образом, посетитель может выбрать свой ужин 36 различными способами.

Ответ: 36.

10.13. Из 25 вопросов к экзамену ученик 18 выучил, 4 совсем не знает, остальные — знает слабо. На экзамене в билетах будет три вопроса.

1) Найдите количество возможных вариантов билета.

2) Сколько из них тех, в которых ученик знает ответы на все вопросы?

3) Сколько из них тех, в которых есть вопросы всех трех типов?

Для решения задачи сначала определим количество вопросов каждого типа:

Всего вопросов: 25.

Выученных вопросов: 18.

Вопросов, которые ученик совсем не знает: 4.

Вопросов, которые ученик знает слабо: $25 - 18 - 4 = 3$.

В каждом экзаменационном билете 3 вопроса.

1) Найдите количество возможных вариантов билета.

Количество возможных вариантов билета — это число сочетаний из 25 вопросов по 3. Порядок вопросов в билете не имеет значения, поэтому мы используем формулу для нахождения числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В данном случае $n = 25$ и $k = 3$.

$C_{25}^3 = \frac{25!}{3!(25-3)!} = \frac{25!}{3! \cdot 22!} = \frac{23 \cdot 24 \cdot 25}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 23 \cdot 4 \cdot 25 = 2300$.

Таким образом, существует 2300 различных вариантов билета.

Ответ: 2300.

2) Сколько из них тех, в которых ученик знает ответы на все вопросы?

Для того чтобы ученик знал ответы на все вопросы, все три вопроса в билете должны быть выбраны из 18 выученных им вопросов. Снова используем формулу числа сочетаний, где $n = 18$ и $k = 3$.

$C_{18}^3 = \frac{18!}{3!(18-3)!} = \frac{18!}{3! \cdot 15!} = \frac{16 \cdot 17 \cdot 18}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 16 \cdot 17 \cdot 3 = 816$.

Следовательно, существует 816 вариантов билетов, на все вопросы которых ученик знает ответ.

Ответ: 816.

3) Сколько из них тех, в которых есть вопросы всех трех типов?

Чтобы в билете были вопросы всех трех типов, он должен содержать один выученный вопрос, один неизвестный вопрос и один слабо известный вопрос. Для нахождения общего числа таких вариантов используем правило произведения в комбинаторике.

Число способов выбрать 1 вопрос из 18 выученных: $C_{18}^1 = 18$.

Число способов выбрать 1 вопрос из 4 неизвестных: $C_4^1 = 4$.

Число способов выбрать 1 вопрос из 3 слабо известных: $C_3^1 = 3$.

Общее количество таких билетов равно произведению этих способов:

$N = C_{18}^1 \cdot C_4^1 \cdot C_3^1 = 18 \cdot 4 \cdot 3 = 216$.

Значит, существует 216 вариантов билетов, которые содержат вопросы всех трех типов.

Ответ: 216.

10.14. 1) Свежие ягоды содержат $90\%$ влаги, сушеные — $12\%$.

Сколько сушеных ягод получится из $40$ кг свежих?

2) Свежие яблоки содержат $96\%$ влаги, сушеные — $10\%$.

Сколько свежих яблок надо собрать, чтобы получить $2$ кг сушеных?

3) Из $40$ т железной руды выплавляют $20$ т стали, содержащей $6\%$ примесей. Найдите процент примесей в руде.

1)

В задачах на высушивание ключевым является тот факт, что масса "сухого вещества" (часть продукта без влаги) остается неизменной, так как в процессе сушки испаряется только вода.

1. Сначала определим долю сухого вещества в свежих ягодах. Если влага составляет 90%, то на сухое вещество приходится: $100\% - 90\% = 10\%$.

2. Теперь найдем массу сухого вещества в 40 кг свежих ягод: $40 \text{ кг} \times 0.10 = 4 \text{ кг}$.

3. Эта масса сухого вещества (4 кг) сохраняется и в сушеных ягодах.

4. Определим долю сухого вещества в сушеных ягодах. Если влага в них составляет 12%, то доля сухого вещества равна: $100\% - 12\% = 88\%$.

5. Пусть $x$ — это итоговая масса сушеных ягод. Мы знаем, что 88% от этой массы составляет 4 кг. Составим уравнение: $x \times 0.88 = 4$.

6. Решим уравнение, чтобы найти $x$: $x = \frac{4}{0.88} = \frac{400}{88} = \frac{100}{22} = \frac{50}{11} = 4 \frac{6}{11}$ кг.

Ответ: $4 \frac{6}{11}$ кг.

2)

Эта задача решается по тому же принципу, что и первая, но в обратном порядке: от конечного продукта к исходному. Масса сухого вещества остается постоянной.

1. Найдем долю сухого вещества в сушеных яблоках. При содержании влаги 10%, доля сухого вещества составляет: $100\% - 10\% = 90\%$.

2. Рассчитаем массу сухого вещества в 2 кг сушеных яблок: $2 \text{ кг} \times 0.90 = 1.8 \text{ кг}$.

3. Эта же масса сухого вещества (1.8 кг) должна содержаться в свежих яблоках, которые необходимо собрать.

4. Найдем долю сухого вещества в свежих яблоках. При содержании влаги 96%, доля сухого вещества составляет: $100\% - 96\% = 4\%$.

5. Пусть $y$ — искомая масса свежих яблок. Мы знаем, что 4% от этой массы составляет 1.8 кг. Составим уравнение: $y \times 0.04 = 1.8$.

6. Решим уравнение относительно $y$: $y = \frac{1.8}{0.04} = \frac{180}{4} = 45$ кг.

Ответ: 45 кг.

3)

В этой задаче неизменной величиной является масса чистого железа. Процесс выплавки изменяет общую массу и состав примесей.

1. Сначала определим массу чистого железа в полученной стали. Если примеси в стали составляют 6%, то доля чистого железа равна: $100\% - 6\% = 94\%$.

2. Рассчитаем массу чистого железа в 20 тоннах стали: $20 \text{ т} \times 0.94 = 18.8 \text{ т}$.

3. Вся эта масса чистого железа (18.8 т) была получена из 40 тонн исходной руды.

4. Теперь найдем массу примесей в руде. Для этого из общей массы руды вычтем массу содержавшегося в ней чистого железа: $40 \text{ т} - 18.8 \text{ т} = 21.2 \text{ т}$.

5. Наконец, найдем процентное содержание примесей в руде, разделив массу примесей на общую массу руды и умножив на 100%: $\frac{21.2 \text{ т}}{40 \text{ т}} \times 100\%$.

6. Выполним вычисление: $0.53 \times 100\% = 53\%$.

Ответ: 53%.

29.3. Упростите выражение и найдите его значение:

1) $ \frac{3\cos215^\circ - 4\cos35^\circ - 2\sin125^\circ}{\cos17^\circ \cos18^\circ - \cos73^\circ \cos72^\circ} $

2) $ \frac{5\sin211^\circ + 8\cos59^\circ - 5\sin31^\circ}{\sin54^\circ \sin67^\circ - \sin36^\circ \sin23^\circ} $

3) $ \frac{7\cos29^\circ - 2\cos151^\circ + 4\sin61^\circ}{\cos67^\circ \cos38^\circ + \cos23^\circ \cos52^\circ} $

4) $ \frac{2\sin54^\circ + 3\cos36^\circ - 2\cos144^\circ}{\sin70^\circ \sin74^\circ - \sin20^\circ \sin16^\circ} $

1) Упростим выражение $\frac{3\cos{215^\circ} - 4\cos{35^\circ} - 2\sin{125^\circ}}{\cos{17^\circ}\cos{18^\circ} - \cos{73^\circ}\cos{72^\circ}}$.
Сначала преобразуем числитель, используя формулы приведения. Углы $215^\circ$ и $125^\circ$ приведем к углу $35^\circ$.
$\cos{215^\circ} = \cos(180^\circ + 35^\circ) = -\cos{35^\circ}$
$\sin{125^\circ} = \sin(90^\circ + 35^\circ) = \cos{35^\circ}$
Подставим эти значения в числитель:
$3(-\cos{35^\circ}) - 4\cos{35^\circ} - 2\cos{35^\circ} = (-3 - 4 - 2)\cos{35^\circ} = -9\cos{35^\circ}$.
Теперь преобразуем знаменатель. Используем формулы приведения для $\cos{73^\circ}$ и $\cos{72^\circ}$:
$\cos{73^\circ} = \cos(90^\circ - 17^\circ) = \sin{17^\circ}$
$\cos{72^\circ} = \cos(90^\circ - 18^\circ) = \sin{18^\circ}$
Знаменатель примет вид: $\cos{17^\circ}\cos{18^\circ} - \sin{17^\circ}\sin{18^\circ}$.
Это формула косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$.
Следовательно, знаменатель равен $\cos(17^\circ + 18^\circ) = \cos{35^\circ}$.
Найдем значение дроби:
$\frac{-9\cos{35^\circ}}{\cos{35^\circ}} = -9$.
Ответ: -9

2) Упростим выражение $\frac{5\sin{211^\circ} + 8\cos{59^\circ} - 5\sin{31^\circ}}{\sin{54^\circ}\sin{67^\circ} - \sin{36^\circ}\sin{23^\circ}}$.
Упростим числитель, приведя все функции к углу $31^\circ$:
$\sin{211^\circ} = \sin(180^\circ + 31^\circ) = -\sin{31^\circ}$
$\cos{59^\circ} = \cos(90^\circ - 31^\circ) = \sin{31^\circ}$
Подставим в числитель:
$5(-\sin{31^\circ}) + 8\sin{31^\circ} - 5\sin{31^\circ} = (-5 + 8 - 5)\sin{31^\circ} = -2\sin{31^\circ}$.
Теперь упростим знаменатель. Используем формулы приведения:
$\sin{54^\circ} = \sin(90^\circ - 36^\circ) = \cos{36^\circ}$
$\sin{67^\circ} = \sin(90^\circ - 23^\circ) = \cos{23^\circ}$
Знаменатель примет вид: $\cos{36^\circ}\cos{23^\circ} - \sin{36^\circ}\sin{23^\circ}$.
По формуле косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$:
Знаменатель равен $\cos(36^\circ + 23^\circ) = \cos{59^\circ}$.
Приведем $\cos{59^\circ}$ к функции от угла $31^\circ$: $\cos{59^\circ} = \cos(90^\circ - 31^\circ) = \sin{31^\circ}$.
Найдем значение дроби:
$\frac{-2\sin{31^\circ}}{\sin{31^\circ}} = -2$.
Ответ: -2

3) Упростим выражение $\frac{7\cos{29^\circ} - 2\cos{151^\circ} + 4\sin{61^\circ}}{\cos{67^\circ}\cos{38^\circ} + \cos{23^\circ}\cos{52^\circ}}$.
Преобразуем числитель, приведя все функции к углу $29^\circ$:
$\cos{151^\circ} = \cos(180^\circ - 29^\circ) = -\cos{29^\circ}$
$\sin{61^\circ} = \sin(90^\circ - 29^\circ) = \cos{29^\circ}$
Подставим в числитель:
$7\cos{29^\circ} - 2(-\cos{29^\circ}) + 4\cos{29^\circ} = (7 + 2 + 4)\cos{29^\circ} = 13\cos{29^\circ}$.
Теперь преобразуем знаменатель. Используем формулы приведения:
$\cos{67^\circ} = \cos(90^\circ - 23^\circ) = \sin{23^\circ}$
$\cos{52^\circ} = \cos(90^\circ - 38^\circ) = \sin{38^\circ}$
Знаменатель примет вид: $\sin{23^\circ}\cos{38^\circ} + \cos{23^\circ}\sin{38^\circ}$.
Это формула синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$.
Следовательно, знаменатель равен $\sin(23^\circ + 38^\circ) = \sin{61^\circ}$.
Приведем $\sin{61^\circ}$ к функции от угла $29^\circ$: $\sin{61^\circ} = \sin(90^\circ - 29^\circ) = \cos{29^\circ}$.
Найдем значение дроби:
$\frac{13\cos{29^\circ}}{\cos{29^\circ}} = 13$.
Ответ: 13

4) Упростим выражение $\frac{2\sin{54^\circ} + 3\cos{36^\circ} - 2\cos{144^\circ}}{\sin{70^\circ}\sin{74^\circ} - \sin{20^\circ}\sin{16^\circ}}$.
Преобразуем числитель, приведя все функции к углу $36^\circ$:
$\sin{54^\circ} = \sin(90^\circ - 36^\circ) = \cos{36^\circ}$
$\cos{144^\circ} = \cos(180^\circ - 36^\circ) = -\cos{36^\circ}$
Подставим в числитель:
$2\cos{36^\circ} + 3\cos{36^\circ} - 2(-\cos{36^\circ}) = (2 + 3 + 2)\cos{36^\circ} = 7\cos{36^\circ}$.
Теперь преобразуем знаменатель. Используем формулы приведения:
$\sin{70^\circ} = \sin(90^\circ - 20^\circ) = \cos{20^\circ}$
$\sin{74^\circ} = \sin(90^\circ - 16^\circ) = \cos{16^\circ}$
Знаменатель примет вид: $\cos{20^\circ}\cos{16^\circ} - \sin{20^\circ}\sin{16^\circ}$.
По формуле косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$:
Знаменатель равен $\cos(20^\circ + 16^\circ) = \cos{36^\circ}$.
Найдем значение дроби:
$\frac{7\cos{36^\circ}}{\cos{36^\circ}} = 7$.
Ответ: 7

29.4. Проверьте справедливость равенства:

1) $ \sin 93^\circ - \sin 63^\circ = \sin 33^\circ $

2) $ \cos 14^\circ - \sin 16^\circ = \cos 46^\circ $

1) Проверим справедливость равенства $sin93^\circ - sin63^\circ = sin33^\circ$.

Для проверки преобразуем левую часть равенства, используя формулу разности синусов: $sin\alpha - sin\beta = 2 \cdot cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cdot sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Подставим в формулу значения $\alpha = 93^\circ$ и $\beta = 63^\circ$:

$sin93^\circ - sin63^\circ = 2 \cdot cos\frac{93^\circ+63^\circ}{2} \cdot sin\frac{93^\circ-63^\circ}{2} = 2 \cdot cos\frac{156^\circ}{2} \cdot sin\frac{30^\circ}{2} = 2 \cdot cos78^\circ \cdot sin15^\circ$.

Теперь необходимо сравнить полученное выражение $2 \cdot cos78^\circ \cdot sin15^\circ$ с правой частью исходного равенства, то есть с $sin33^\circ$.

Воспользуемся формулой приведения $cos78^\circ = cos(90^\circ - 12^\circ) = sin12^\circ$.

Тогда левая часть равенства принимает вид: $2 \cdot sin12^\circ \cdot sin15^\circ$.

Используем формулу преобразования произведения синусов в сумму $2 \cdot sinA \cdot sinB = cos(A-B) - cos(A+B)$.

$2 \cdot sin15^\circ \cdot sin12^\circ = cos(15^\circ - 12^\circ) - cos(15^\circ + 12^\circ) = cos3^\circ - cos27^\circ$.

Таким образом, исходное равенство $sin93^\circ - sin63^\circ = sin33^\circ$ эквивалентно равенству $cos3^\circ - cos27^\circ = sin33^\circ$.

Углы $3^\circ, 27^\circ, 33^\circ$ не являются табличными, но можно оценить значения. Так как $cos(x)$ является убывающей функцией на отрезке $[0, 90^\circ]$, то $cos3^\circ > cos27^\circ$. В то же время, $cos3^\circ \approx 0.9986$, $cos27^\circ \approx 0.8910$, их разность примерно равна $0.1076$. Значение $sin33^\circ \approx 0.5446$. Очевидно, что эти величины не равны.

Следовательно, исходное равенство не является верным.

Ответ: Равенство не справедливо.

2) Проверим справедливость равенства $cos14^\circ - sin16^\circ = cos46^\circ$.

Для удобства преобразуем исходное равенство, перенеся $cos46^\circ$ в левую часть, а $sin16^\circ$ в правую. Равенство примет вид:

$cos14^\circ - cos46^\circ = sin16^\circ$.

Теперь преобразуем левую часть полученного равенства, используя формулу разности косинусов: $cos\alpha - cos\beta = -2 \cdot sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cdot sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Подставим значения $\alpha = 14^\circ$ и $\beta = 46^\circ$:

$cos14^\circ - cos46^\circ = -2 \cdot sin\frac{14^\circ+46^\circ}{2} \cdot sin\frac{14^\circ-46^\circ}{2} = -2 \cdot sin\frac{60^\circ}{2} \cdot sin\frac{-32^\circ}{2} = -2 \cdot sin30^\circ \cdot sin(-16^\circ)$.

Мы знаем табличное значение $sin30^\circ = \frac{1}{2}$ и свойство нечетности синуса $sin(-x) = -sinx$. Подставим эти значения в выражение:

$-2 \cdot sin30^\circ \cdot sin(-16^\circ) = -2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-sin16^\circ) = -1 \cdot (-sin16^\circ) = sin16^\circ$.

В результате преобразования левой части мы получили $sin16^\circ$, что в точности совпадает с правой частью равенства $cos14^\circ - cos46^\circ = sin16^\circ$.

Следовательно, исходное равенство является верным.

Ответ: Равенство справедливо.

29.5. Вычислите:

1) $\frac{4(\cos 20^{\circ} - \sin 20^{\circ})}{\sqrt{2} \sin 25^{\circ}}$

2) $\frac{\sqrt{2}(\cos 25^{\circ} - \sin 25^{\circ})}{\sin 20^{\circ}}$

3) $\frac{1 - 2\cos^2 13^{\circ}}{\cos 26^{\circ}}$

4) $\frac{1 - 2\sin^2 46^{\circ}}{8\cos 92^{\circ}}$

1) Вычислим значение выражения $\frac{4(\cos20^\circ - \sin20^\circ)}{\sqrt{2}\sin25^\circ}$.

Сначала преобразуем выражение в числителе $(\cos20^\circ - \sin20^\circ)$, используя формулу вспомогательного угла. Для этого умножим и разделим его на $\sqrt{2}$:

$\cos20^\circ - \sin20^\circ = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos20^\circ - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin20^\circ)$.

Так как $\cos45^\circ = \sin45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$, заменим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на соответствующие тригонометрические функции:

$\sqrt{2}(\cos45^\circ\cos20^\circ - \sin45^\circ\sin20^\circ)$.

Это соответствует формуле косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$:

$\sqrt{2}\cos(45^\circ + 20^\circ) = \sqrt{2}\cos65^\circ$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходную дробь:

$\frac{4 \cdot \sqrt{2}\cos65^\circ}{\sqrt{2}\sin25^\circ}$.

Сокращаем $\sqrt{2}$ в числителе и знаменателе:

$\frac{4\cos65^\circ}{\sin25^\circ}$.

Используем формулу приведения $\cos\alpha = \sin(90^\circ - \alpha)$:

$\cos65^\circ = \sin(90^\circ - 65^\circ) = \sin25^\circ$.

Подставляем и сокращаем:

$\frac{4\sin25^\circ}{\sin25^\circ} = 4$.

Ответ: 4.

2) Вычислим значение выражения $\frac{\sqrt{2}(\cos25^\circ - \sin25^\circ)}{\sin20^\circ}$.

Преобразуем числитель аналогично предыдущему пункту:

$\sqrt{2}(\cos25^\circ - \sin25^\circ) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos25^\circ - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin25^\circ) = 2(\cos45^\circ\cos25^\circ - \sin45^\circ\sin25^\circ)$.

Применяем формулу косинуса суммы:

$2\cos(45^\circ + 25^\circ) = 2\cos70^\circ$.

Подставляем в исходное выражение:

$\frac{2\cos70^\circ}{\sin20^\circ}$.

Используем формулу приведения $\cos\alpha = \sin(90^\circ - \alpha)$:

$\cos70^\circ = \sin(90^\circ - 70^\circ) = \sin20^\circ$.

Подставляем и получаем результат:

$\frac{2\sin20^\circ}{\sin20^\circ} = 2$.

Ответ: 2.

3) Вычислим значение выражения $\frac{1 - 2\cos^2 13^\circ}{\cos26^\circ}$.

В числителе вынесем минус за скобки:

$1 - 2\cos^2 13^\circ = -(2\cos^2 13^\circ - 1)$.

Выражение в скобках является формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$.

Применив ее, получаем: $-(2\cos^2 13^\circ - 1) = -\cos(2 \cdot 13^\circ) = -\cos26^\circ$.

Подставляем в исходную дробь:

$\frac{-\cos26^\circ}{\cos26^\circ} = -1$.

Ответ: -1.

4) Вычислим значение выражения $\frac{1 - 2\sin^2 46^\circ}{8\cos92^\circ}$.

Числитель $1 - 2\sin^2 46^\circ$ является формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$.

Применив ее, получаем: $1 - 2\sin^2 46^\circ = \cos(2 \cdot 46^\circ) = \cos92^\circ$.

Подставляем в исходную дробь:

$\frac{\cos92^\circ}{8\cos92^\circ}$.

Сокращаем $\cos92^\circ$ в числителе и знаменателе:

$\frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$.

29.6. Вычислите:

1) $\frac{\sin\beta\cos\beta + 2}{5\cos^2\beta + 1}$, если $\mathrm{tg}\beta = 2;

2) $\frac{\sin\beta\cos\beta - 3}{6\cos^2\beta - \sin^2\beta}$, если $\mathrm{tg}\beta = -2;

3) $\frac{2\sin\beta\cos\beta + 3}{4\cos^2\beta + \sin^2\beta}$, если $\mathrm{tg}\beta = -4;

4) $\frac{\cos^2\beta + 2}{\cos^2\beta + 3\sin\beta\cos\beta}$, если $\mathrm{tg}\beta = 3.

1) Чтобы вычислить значение выражения $\frac{\sin\beta\cos\beta + 2}{5\cos^2\beta + 1}$ при $\text{tg}\beta = 2$, преобразуем его, разделив числитель и знаменатель на $\cos^2\beta$. Это преобразование допустимо, поскольку если $\text{tg}\beta$ имеет значение, то $\cos\beta \neq 0$.
$\frac{\frac{\sin\beta\cos\beta + 2}{\cos^2\beta}}{\frac{5\cos^2\beta + 1}{\cos^2\beta}} = \frac{\frac{\sin\beta\cos\beta}{\cos^2\beta} + \frac{2}{\cos^2\beta}}{\frac{5\cos^2\beta}{\cos^2\beta} + \frac{1}{\cos^2\beta}} = \frac{\frac{\sin\beta}{\cos\beta} + 2 \cdot \frac{1}{\cos^2\beta}}{5 + \frac{1}{\cos^2\beta}}$
Используя тождество $\frac{1}{\cos^2\beta} = 1 + \text{tg}^2\beta$, заменим $\frac{1}{\cos^2\beta}$ и $\frac{\sin\beta}{\cos\beta}$ на выражения с тангенсом:
$\frac{\text{tg}\beta + 2(1 + \text{tg}^2\beta)}{5 + (1 + \text{tg}^2\beta)} = \frac{\text{tg}\beta + 2 + 2\text{tg}^2\beta}{6 + \text{tg}^2\beta}$
Подставим в полученное выражение значение $\text{tg}\beta = 2$:
$\frac{2 + 2 + 2 \cdot (2)^2}{6 + (2)^2} = \frac{4 + 2 \cdot 4}{6 + 4} = \frac{4 + 8}{10} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$
Ответ: $\frac{6}{5}$.

2) Чтобы вычислить значение выражения $\frac{\sin\beta\cos\beta - 3}{6\cos^2\beta - \sin^2\beta}$ при $\text{tg}\beta = -2$, разделим числитель и знаменатель на $\cos^2\beta$:
$\frac{\frac{\sin\beta\cos\beta - 3}{\cos^2\beta}}{\frac{6\cos^2\beta - \sin^2\beta}{\cos^2\beta}} = \frac{\frac{\sin\beta}{\cos\beta} - \frac{3}{\cos^2\beta}}{6 - \frac{\sin^2\beta}{\cos^2\beta}}$
Используя тождества $\text{tg}\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$ и $\frac{1}{\cos^2\beta} = 1 + \text{tg}^2\beta$, получим:
$\frac{\text{tg}\beta - 3(1 + \text{tg}^2\beta)}{6 - \text{tg}^2\beta}$
Подставим в полученное выражение значение $\text{tg}\beta = -2$:
$\frac{-2 - 3(1 + (-2)^2)}{6 - (-2)^2} = \frac{-2 - 3(1 + 4)}{6 - 4} = \frac{-2 - 3 \cdot 5}{2} = \frac{-2 - 15}{2} = -\frac{17}{2}$
Ответ: $-\frac{17}{2}$.

3) Чтобы вычислить значение выражения $\frac{2\sin\beta\cos\beta + 3}{4\cos^2\beta + \sin^2\beta}$ при $\text{tg}\beta = -4$, разделим числитель и знаменатель на $\cos^2\beta$:
$\frac{\frac{2\sin\beta\cos\beta + 3}{\cos^2\beta}}{\frac{4\cos^2\beta + \sin^2\beta}{\cos^2\beta}} = \frac{2\frac{\sin\beta}{\cos\beta} + \frac{3}{\cos^2\beta}}{4 + \frac{\sin^2\beta}{\cos^2\beta}}$
Используя тождества $\text{tg}\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$ и $\frac{1}{\cos^2\beta} = 1 + \text{tg}^2\beta$, получим:
$\frac{2\text{tg}\beta + 3(1 + \text{tg}^2\beta)}{4 + \text{tg}^2\beta}$
Подставим в полученное выражение значение $\text{tg}\beta = -4$:
$\frac{2(-4) + 3(1 + (-4)^2)}{4 + (-4)^2} = \frac{-8 + 3(1 + 16)}{4 + 16} = \frac{-8 + 3 \cdot 17}{20} = \frac{-8 + 51}{20} = \frac{43}{20}$
Ответ: $\frac{43}{20}$.

4) Чтобы вычислить значение выражения $\frac{\cos^2\beta + 2}{\cos^2\beta + 3\sin\beta\cos\beta}$ при $\text{tg}\beta = 3$, разделим числитель и знаменатель на $\cos^2\beta$:
$\frac{\frac{\cos^2\beta + 2}{\cos^2\beta}}{\frac{\cos^2\beta + 3\sin\beta\cos\beta}{\cos^2\beta}} = \frac{1 + \frac{2}{\cos^2\beta}}{1 + 3\frac{\sin\beta}{\cos\beta}}$
Используя тождества $\text{tg}\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$ и $\frac{1}{\cos^2\beta} = 1 + \text{tg}^2\beta$, получим:
$\frac{1 + 2(1 + \text{tg}^2\beta)}{1 + 3\text{tg}\beta} = \frac{1 + 2 + 2\text{tg}^2\beta}{1 + 3\text{tg}\beta} = \frac{3 + 2\text{tg}^2\beta}{1 + 3\text{tg}\beta}$
Подставим в полученное выражение значение $\text{tg}\beta = 3$:
$\frac{3 + 2 \cdot (3)^2}{1 + 3 \cdot 3} = \frac{3 + 2 \cdot 9}{1 + 9} = \frac{3 + 18}{10} = \frac{21}{10}$
Ответ: $\frac{21}{10}$.

29.7. Найдите значение тригонометрического выражения:

1) $\frac{\cos11\alpha + 3\cos9\alpha + 3\cos7\alpha + \cos5\alpha}{\cos8\alpha}$, если $\cos\alpha = \frac{1}{3}$;

2) $\cos2\alpha - \cos6\alpha$, если $\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$;

3) $\sin5\alpha - \sin3\alpha$, если $\sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$;

4) $\cos3\alpha - \cos5\alpha$, если $\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

1) Сначала упростим числитель выражения, сгруппировав слагаемые:
$(\cos(11\alpha) + \cos(5\alpha)) + 3(\cos(9\alpha) + \cos(7\alpha))$
Применим формулу суммы косинусов $\cos(x) + \cos(y) = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$:
$\cos(11\alpha) + \cos(5\alpha) = 2\cos\frac{11\alpha+5\alpha}{2}\cos\frac{11\alpha-5\alpha}{2} = 2\cos(8\alpha)\cos(3\alpha)$
$\cos(9\alpha) + \cos(7\alpha) = 2\cos\frac{9\alpha+7\alpha}{2}\cos\frac{9\alpha-7\alpha}{2} = 2\cos(8\alpha)\cos(\alpha)$
Подставим полученные выражения обратно в числитель:
$2\cos(8\alpha)\cos(3\alpha) + 3(2\cos(8\alpha)\cos(\alpha)) = 2\cos(8\alpha)(\cos(3\alpha) + 3\cos(\alpha))$
Теперь всё выражение выглядит так:
$\frac{2\cos(8\alpha)(\cos(3\alpha) + 3\cos(\alpha))}{\cos(8\alpha)} = 2(\cos(3\alpha) + 3\cos(\alpha))$
Используем формулу косинуса тройного угла $\cos(3\alpha) = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$:
$2(4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha + 3\cos\alpha) = 2(4\cos^3\alpha) = 8\cos^3\alpha$
Подставим данное значение $\cos\alpha = \frac{1}{3}$:
$8 \cdot (\frac{1}{3})^3 = 8 \cdot \frac{1}{27} = \frac{8}{27}$
Ответ: $\frac{8}{27}$

2) Для нахождения значения выражения $\cos(2\alpha) - \cos(6\alpha)$ при $\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$ выразим всё через $\cos\alpha$.
Сначала найдем $\cos(2\alpha)$ по формуле двойного угла $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$:
$\cos(2\alpha) = 2(\frac{1}{\sqrt{3}})^2 - 1 = 2 \cdot \frac{1}{3} - 1 = \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}$
Теперь найдем $\cos(6\alpha)$, используя формулу тройного угла для аргумента $2\alpha$, $\cos(6\alpha) = \cos(3 \cdot 2\alpha) = 4\cos^3(2\alpha) - 3\cos(2\alpha)$:
$\cos(6\alpha) = 4(-\frac{1}{3})^3 - 3(-\frac{1}{3}) = 4(-\frac{1}{27}) + 1 = -\frac{4}{27} + \frac{27}{27} = \frac{23}{27}$
Вычислим итоговое значение:
$\cos(2\alpha) - \cos(6\alpha) = -\frac{1}{3} - \frac{23}{27} = -\frac{9}{27} - \frac{23}{27} = -\frac{32}{27}$
Ответ: $-\frac{32}{27}$

3) Для нахождения значения выражения $\sin(5\alpha) - \sin(3\alpha)$ при $\sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$ воспользуемся формулой разности синусов $\sin(x) - \sin(y) = 2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$:
$\sin(5\alpha) - \sin(3\alpha) = 2\cos\frac{5\alpha+3\alpha}{2}\sin\frac{5\alpha-3\alpha}{2} = 2\cos(4\alpha)\sin(\alpha)$
Нам дано $\sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$. Нужно найти $\cos(4\alpha)$.
Сначала найдем $\cos(2\alpha)$ через $\sin\alpha$, используя формулу $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$:
$\cos(2\alpha) = 1 - 2(\frac{2}{\sqrt{5}})^2 = 1 - 2 \cdot \frac{4}{5} = 1 - \frac{8}{5} = -\frac{3}{5}$
Теперь найдем $\cos(4\alpha)$ через $\cos(2\alpha)$, используя формулу $\cos(2x) = 2\cos^2x - 1$:
$\cos(4\alpha) = 2\cos^2(2\alpha) - 1 = 2(-\frac{3}{5})^2 - 1 = 2 \cdot \frac{9}{25} - 1 = \frac{18}{25} - \frac{25}{25} = -\frac{7}{25}$
Подставим найденные значения в выражение $2\cos(4\alpha)\sin(\alpha)$:
$2 \cdot (-\frac{7}{25}) \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{28}{25\sqrt{5}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$-\frac{28\sqrt{5}}{25\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} = -\frac{28\sqrt{5}}{25 \cdot 5} = -\frac{28\sqrt{5}}{125}$
Ответ: $-\frac{28\sqrt{5}}{125}$

4) Для нахождения значения выражения $\cos(3\alpha) - \cos(5\alpha)$ при $\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$ воспользуемся формулой разности косинусов $\cos(x) - \cos(y) = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$:
$\cos(3\alpha) - \cos(5\alpha) = -2\sin\frac{3\alpha+5\alpha}{2}\sin\frac{3\alpha-5\alpha}{2} = -2\sin(4\alpha)\sin(-\alpha) = 2\sin(4\alpha)\sin(\alpha)$
Выразим $\sin(4\alpha)$ и $\sin(\alpha)$ через $\cos(\alpha)$.
$\sin(4\alpha) = 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha) = 2(2\sin\alpha\cos\alpha)\cos(2\alpha) = 4\sin\alpha\cos\alpha\cos(2\alpha)$
Подставим это в наше выражение:
$2 \cdot (4\sin\alpha\cos\alpha\cos(2\alpha)) \cdot \sin\alpha = 8\sin^2\alpha\cos\alpha\cos(2\alpha)$
Найдем необходимые значения. Нам дано $\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
$\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1 = 2(\frac{1}{3}) - 1 = -\frac{1}{3}$
Подставим все значения в итоговое выражение:
$8 \cdot (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{1}{\sqrt{3}}) \cdot (-\frac{1}{3}) = -\frac{16}{9\sqrt{3}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$-\frac{16\sqrt{3}}{9\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = -\frac{16\sqrt{3}}{9 \cdot 3} = -\frac{16\sqrt{3}}{27}$
Ответ: $-\frac{16\sqrt{3}}{27}$