Страница 94, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

10.15. 1) Решите неравенство $\frac{1}{x^2 - 2x} - \frac{3}{(x - 5)(x - 2)} \le \frac{2}{x - 5}$ и найдите значение суммы целых решений, принадлежащих отрезку $[-1; 6]$.

2) Решите неравенство $\frac{1}{x^2 + 2x} - \frac{6}{(x + 5)(x + 2)} \le \frac{2}{x + 5}$ и найдите значение суммы целых решений, принадлежащих отрезку $[-4; 4]$.

1) Решим неравенство $\frac{1}{x^2 - 2x} - \frac{3}{(x-5)(x-2)} \le \frac{2}{x-5}$.

Сначала разложим знаменатели на множители и определим область допустимых значений (ОДЗ).
$x^2 - 2x = x(x-2)$.
Знаменатели обращаются в ноль при $x=0$, $x=2$ и $x=5$.
Следовательно, ОДЗ: $x \neq 0$, $x \neq 2$, $x \neq 5$.

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю $x(x-2)(x-5)$: $\frac{1}{x(x-2)} - \frac{3}{(x-5)(x-2)} - \frac{2}{x-5} \le 0$

$\frac{1(x-5) - 3x - 2x(x-2)}{x(x-2)(x-5)} \le 0$

$\frac{x - 5 - 3x - 2x^2 + 4x}{x(x-2)(x-5)} \le 0$

$\frac{-2x^2 + 2x - 5}{x(x-2)(x-5)} \le 0$

Рассмотрим числитель $-2x^2 + 2x - 5$. Найдем его дискриминант: $D = 2^2 - 4(-2)(-5) = 4 - 40 = -36$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $-2 < 0$, числитель $-2x^2 + 2x - 5$ всегда отрицателен при любом значении $x$.

Поскольку числитель всегда отрицательный, для выполнения неравенства знаменатель должен быть положительным (так как частное отрицательного и положительного числа отрицательно).
$x(x-2)(x-5) > 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Корни знаменателя: $0, 2, 5$. Нанесем их на числовую ось.

Проверяя знаки на интервалах, получаем решение: $x \in (0, 2) \cup (5, \infty)$.

Теперь найдем целые решения, принадлежащие отрезку $[-1; 6]$.
Из интервала $(0, 2)$ целым решением является $x=1$.
Из интервала $(5, \infty)$ в отрезок $[-1; 6]$ попадает только целое число $x=6$.
Целые решения: $1$ и $6$.

Сумма этих целых решений: $1 + 6 = 7$.

Ответ: решением неравенства является $x \in (0, 2) \cup (5, \infty)$; сумма целых решений из отрезка $[-1; 6]$ равна 7.

2) Решим неравенство $\frac{1}{x^2 + 2x} - \frac{6}{(x+5)(x+2)} \le \frac{2}{x+5}$.

Разложим знаменатели на множители и определим ОДЗ.
$x^2 + 2x = x(x+2)$.
Знаменатели обращаются в ноль при $x=0$, $x=-2$, $x=-5$.
Следовательно, ОДЗ: $x \neq 0$, $x \neq -2$, $x \neq -5$.

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю $x(x+2)(x+5)$: $\frac{1}{x(x+2)} - \frac{6}{(x+5)(x+2)} - \frac{2}{x+5} \le 0$

$\frac{1(x+5) - 6x - 2x(x+2)}{x(x+2)(x+5)} \le 0$

$\frac{x + 5 - 6x - 2x^2 - 4x}{x(x+2)(x+5)} \le 0$

$\frac{-2x^2 - 9x + 5}{x(x+2)(x+5)} \le 0$

Найдем корни числителя $-2x^2 - 9x + 5 = 0$, или $2x^2 + 9x - 5 = 0$.
Дискриминант: $D = 9^2 - 4(2)(-5) = 81 + 40 = 121 = 11^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-9-11}{4} = -5$, $x_2 = \frac{-9+11}{4} = \frac{1}{2}$.
Тогда числитель раскладывается на множители: $-2(x+5)(x-\frac{1}{2}) = -(x+5)(2x-1)$.

Подставим в неравенство:
$\frac{-(x+5)(2x-1)}{x(x+2)(x+5)} \le 0$.

С учетом ОДЗ ($x \neq -5$), мы можем сократить дробь на $(x+5)$:
$\frac{-(2x-1)}{x(x+2)} \le 0$.
Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства:
$\frac{2x-1}{x(x+2)} \ge 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x=\frac{1}{2}$ (включительно), $x=0$ (исключительно), $x=-2$ (исключительно).

Проверяя знаки на интервалах, получаем решение: $x \in (-2, 0) \cup [\frac{1}{2}, \infty)$.

Теперь найдем целые решения, принадлежащие отрезку $[-4; 4]$.
Из интервала $(-2, 0)$ целым решением является $x=-1$.
Из полуинтервала $[\frac{1}{2}, \infty)$ в отрезок $[-4; 4]$ попадают целые числа $x=1, 2, 3, 4$.
Все целые решения: $-1, 1, 2, 3, 4$.

Сумма этих целых решений: $-1 + 1 + 2 + 3 + 4 = 9$.

Ответ: решением неравенства является $x \in (-2, 0) \cup [\frac{1}{2}, \infty)$; сумма целых решений из отрезка $[-4; 4]$ равна 9.

10.16. Запишите в виде многочлена выражение:

1) $(2x - 3)^3 + 27 - (2x)^3 + 40x^2 - 1;$

2) $(1 - 2x)^3 + 8x^3 - 1;$

3) $(x - 2)^3 + 2(3x - 1)^2 + 10;$

4) $(3 - x^2)^2 + 6x^2 - 3x - 1.$

1) Чтобы записать выражение $(2x - 3)^3 + 27 - (2x)^3 + 40x^2 - 1$ в виде многочлена, раскроем скобки. Воспользуемся формулой куба разности $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ для выражения $(2x - 3)^3$, где $a = 2x$ и $b = 3$:

$(2x - 3)^3 = (2x)^3 - 3 \cdot (2x)^2 \cdot 3 + 3 \cdot 2x \cdot 3^2 - 3^3 = 8x^3 - 3 \cdot 4x^2 \cdot 3 + 6x \cdot 9 - 27 = 8x^3 - 36x^2 + 54x - 27$.

Также раскроем скобки в $(2x)^3 = 8x^3$.

Подставим полученные выражения в исходное:

$(8x^3 - 36x^2 + 54x - 27) + 27 - 8x^3 + 40x^2 - 1$.

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(8x^3 - 8x^3) + (-36x^2 + 40x^2) + 54x + (-27 + 27 - 1) = 0 + 4x^2 + 54x - 1 = 4x^2 + 54x - 1$.

Ответ: $4x^2 + 54x - 1$.

2) Рассмотрим выражение $(1 - 2x)^3 + 8x^3 - 1$.

Применим формулу куба разности $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ к $(1 - 2x)^3$, где $a = 1$ и $b = 2x$:

$(1 - 2x)^3 = 1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot (2x) + 3 \cdot 1 \cdot (2x)^2 - (2x)^3 = 1 - 6x + 3 \cdot 4x^2 - 8x^3 = 1 - 6x + 12x^2 - 8x^3$.

Подставим результат в исходное выражение:

$(1 - 6x + 12x^2 - 8x^3) + 8x^3 - 1$.

Приведем подобные слагаемые:

$(-8x^3 + 8x^3) + 12x^2 - 6x + (1 - 1) = 12x^2 - 6x$.

Ответ: $12x^2 - 6x$.

3) Запишем в виде многочлена выражение $(x - 2)^3 + 2(3x - 1)^2 + 10$.

Для этого раскроем обе скобки по отдельности. Сначала куб разности $(x - 2)^3$ по формуле $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:

$(x - 2)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$.

Затем квадрат разности $(3x - 1)^2$ по формуле $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(3x - 1)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 1 + 1^2 = 9x^2 - 6x + 1$.

Теперь подставим раскрытые скобки в исходное выражение:

$(x^3 - 6x^2 + 12x - 8) + 2(9x^2 - 6x + 1) + 10$.

Раскроем скобки, умножив второй многочлен на 2:

$x^3 - 6x^2 + 12x - 8 + 18x^2 - 12x + 2 + 10$.

Приведем подобные слагаемые:

$x^3 + (-6x^2 + 18x^2) + (12x - 12x) + (-8 + 2 + 10) = x^3 + 12x^2 + 4$.

Ответ: $x^3 + 12x^2 + 4$.

4) Преобразуем выражение $(3 - x^2)^2 + 6x^2 - 3x - 1$ в многочлен.

Раскроем скобки $(3 - x^2)^2$ по формуле квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 3$ и $b = x^2$:

$(3 - x^2)^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot x^2 + (x^2)^2 = 9 - 6x^2 + x^4$.

Подставим результат в исходное выражение:

$(9 - 6x^2 + x^4) + 6x^2 - 3x - 1$.

Приведем подобные слагаемые, расположив их по убыванию степеней $x$:

$x^4 + (-6x^2 + 6x^2) - 3x + (9 - 1) = x^4 - 3x + 8$.

Ответ: $x^4 - 3x + 8$.

10.17. Решите уравнение:

1) $A_{x+1}^2 = 20;$

2) $A_{x+2}^2 = 26 + 8x;$

3) $C_{x+1}^2 = 45;$

4) $C_{x+2}^2 = 33 + 1,5x.$

1) $A_{x+1}^2 = 20$

По определению числа размещений, $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)...(n-k+1)$. В данном уравнении $n = x+1$ и $k=2$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что $n$ и $k$ — целые числа, и $n \ge k \ge 0$. Следовательно, $x+1 \ge 2$, что означает $x \ge 1$. Также $x$ должен быть целым числом.

Распишем левую часть уравнения, используя формулу для размещений:

$A_{x+1}^2 = (x+1) \cdot ((x+1)-1) = (x+1)x = x^2+x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение и получим квадратное уравнение:

$x^2 + x = 20$

$x^2 + x - 20 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-20$. Корнями являются $x_1 = 4$ и $x_2 = -5$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 1$):

Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию, так как $4 \ge 1$.

Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет условию, так как $-5 < 1$. Этот корень является посторонним.

Ответ: 4.

2) $A_{x+2}^2 = 26 + 8x$

Используем ту же формулу для числа размещений $A_n^k$ с $n = x+2$ и $k=2$.

ОДЗ: $x+2 \ge 2$, что означает $x \ge 0$. $x$ должен быть целым числом.

Распишем левую часть уравнения:

$A_{x+2}^2 = (x+2) \cdot ((x+2)-1) = (x+2)(x+1) = x^2 + 3x + 2$.

Подставим в исходное уравнение:

$x^2 + 3x + 2 = 26 + 8x$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 3x - 8x + 2 - 26 = 0$

$x^2 - 5x - 24 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $5$, а произведение $-24$. Корнями являются $x_1 = 8$ и $x_2 = -3$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$):

$x_1 = 8$ удовлетворяет условию ($8 \ge 0$).

$x_2 = -3$ не удовлетворяет условию ($-3 < 0$).

Ответ: 8.

3) $C_{x+1}^2 = 45$

По определению числа сочетаний, $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{A_n^k}{k!}$. В данном уравнении $n = x+1$ и $k=2$.

ОДЗ: $x+1 \ge 2$, то есть $x \ge 1$. $x$ должен быть целым числом.

Распишем левую часть уравнения:

$C_{x+1}^2 = \frac{(x+1) \cdot ((x+1)-1)}{2!} = \frac{(x+1)x}{2}$.

Подставим в исходное уравнение:

$\frac{x(x+1)}{2} = 45$

$x(x+1) = 90$

$x^2 + x - 90 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение $-90$. Корнями являются $x_1 = 9$ и $x_2 = -10$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 1$):

$x_1 = 9$ удовлетворяет условию ($9 \ge 1$).

$x_2 = -10$ не удовлетворяет условию ($-10 < 1$).

Ответ: 9.

4) $C_{x+2}^2 = 33 + 1,5x$

Используем формулу для числа сочетаний $C_n^k$ с $n = x+2$ и $k=2$.

ОДЗ: $x+2 \ge 2$, то есть $x \ge 0$. $x$ должен быть целым числом.

Распишем левую часть:

$C_{x+2}^2 = \frac{(x+2)(x+2-1)}{2} = \frac{(x+2)(x+1)}{2}$.

Подставим в исходное уравнение:

$\frac{(x+2)(x+1)}{2} = 33 + 1.5x$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дробей:

$(x+2)(x+1) = 2(33 + 1.5x)$

$x^2 + 3x + 2 = 66 + 3x$

Вычтем $3x$ из обеих частей:

$x^2 + 2 = 66$

$x^2 = 64$

Отсюда $x = \pm\sqrt{64}$, то есть $x_1 = 8$ и $x_2 = -8$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$):

$x_1 = 8$ удовлетворяет условию ($8 \ge 0$).

$x_2 = -8$ не удовлетворяет условию ($-8 < 0$).

Ответ: 8.

29.8. Вычислите:

1) $\text{tg}1^\circ \cdot \text{tg}5^\circ \cdot \text{tg}9^\circ \cdot \dots \cdot \text{tg}85^\circ \cdot \text{tg}89^\circ;$

2) $\text{ctg}2^\circ \cdot \text{ctg}8^\circ \cdot \text{ctg}14^\circ \cdot \dots \cdot \text{ctg}82^\circ \cdot \text{ctg}88^\circ.$

1) Дано произведение $P = \text{tg}1^\circ \cdot \text{tg}5^\circ \cdot \text{tg}9^\circ \cdot \ldots \cdot \text{tg}85^\circ \cdot \text{tg}89^\circ$.

Углы в аргументах тангенсов представляют собой арифметическую прогрессию. Найдем ее параметры. Первый член $a_1 = 1^\circ$, разность прогрессии $d = 5^\circ - 1^\circ = 4^\circ$.

Чтобы найти количество множителей (членов прогрессии), воспользуемся формулой n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_n = 89^\circ$:

$89 = 1 + (n-1) \cdot 4$

$88 = 4(n-1)$

$n-1 = 22$

$n = 23$

В произведении 23 множителя. Для вычисления произведения используем формулу приведения $\text{tg}(90^\circ - \alpha) = \text{ctg}\alpha$ и тождество $\text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1$. Из них следует, что $\text{tg}\alpha \cdot \text{tg}(90^\circ - \alpha) = 1$.

Сгруппируем множители попарно так, чтобы сумма углов в каждой паре составляла $90^\circ$:

$(\text{tg}1^\circ \cdot \text{tg}89^\circ) = \text{tg}1^\circ \cdot \text{tg}(90^\circ - 1^\circ) = \text{tg}1^\circ \cdot \text{ctg}1^\circ = 1$.

$(\text{tg}5^\circ \cdot \text{tg}85^\circ) = \text{tg}5^\circ \cdot \text{tg}(90^\circ - 5^\circ) = \text{tg}5^\circ \cdot \text{ctg}5^\circ = 1$.

Поскольку общее количество множителей нечетное (23), один из них останется без пары. Это будет средний член последовательности, номер которого равен $(23+1)/2 = 12$.

Найдем значение угла 12-го члена прогрессии:

$a_{12} = a_1 + (12-1)d = 1^\circ + 11 \cdot 4^\circ = 1^\circ + 44^\circ = 45^\circ$.

Этот множитель — $\text{tg}45^\circ$.

Все произведение можно представить как произведение 11 пар, дающих в результате 1, и одного центрального члена $\text{tg}45^\circ$:

$P = (\text{tg}1^\circ \cdot \text{tg}89^\circ) \cdot (\text{tg}5^\circ \cdot \text{tg}85^\circ) \cdot \ldots \cdot \text{tg}45^\circ = (1 \cdot 1 \cdot \ldots) \cdot \text{tg}45^\circ$.

Так как $\text{tg}45^\circ = 1$, то итоговый результат равен:

$P = 1 \cdot 1 = 1$.

Ответ: 1.

2) Дано произведение $P = \text{ctg}2^\circ \cdot \text{ctg}8^\circ \cdot \text{ctg}14^\circ \cdot \ldots \cdot \text{ctg}82^\circ \cdot \text{ctg}88^\circ$.

Для решения воспользуемся формулой приведения $\text{ctg}(90^\circ - \alpha) = \text{tg}\alpha$ и тождеством $\text{ctg}\alpha \cdot \text{tg}\alpha = 1$. Комбинируя их, получаем $\text{ctg}\alpha \cdot \text{ctg}(90^\circ - \alpha) = 1$.

Сгруппируем множители в данном произведении в пары, где сумма углов равна $90^\circ$.

Рассмотрим первую и последнюю пару:

$\text{ctg}2^\circ \cdot \text{ctg}88^\circ = \text{ctg}2^\circ \cdot \text{ctg}(90^\circ - 2^\circ) = \text{ctg}2^\circ \cdot \text{tg}2^\circ = 1$.

$\text{ctg}8^\circ \cdot \text{ctg}82^\circ = \text{ctg}8^\circ \cdot \text{ctg}(90^\circ - 8^\circ) = \text{ctg}8^\circ \cdot \text{tg}8^\circ = 1$.

Углы в аргументах котангенсов образуют последовательность, в которой разность между соседними членами, указанными в начале и в конце, составляет $6^\circ$ (например, $8^\circ - 2^\circ = 6^\circ$ и $88^\circ - 82^\circ = 6^\circ$). Это означает, что для каждого множителя $\text{ctg}\alpha$ в произведении есть соответствующий ему множитель $\text{ctg}(90^\circ - \alpha)$.

Давайте выпишем углы из начала и конца последовательности:

Начало: $2, 8, 14, 20, 26, 32, 38, 44$.

Конец (в обратном порядке): $88, 82, 76, 70, 64, 58, 52, 46$.

Каждому углу $\alpha$ из первой группы соответствует угол $90^\circ - \alpha$ из второй. Например, $2^\circ$ и $88^\circ$, $8^\circ$ и $82^\circ$, ..., $44^\circ$ и $46^\circ$. Угол $45^\circ$ в этой последовательности отсутствует. Это означает, что все множители можно разбить на пары.

Произведение можно записать следующим образом:

$P = (\text{ctg}2^\circ \cdot \text{ctg}88^\circ) \cdot (\text{ctg}8^\circ \cdot \text{ctg}82^\circ) \cdot \ldots \cdot (\text{ctg}44^\circ \cdot \text{ctg}46^\circ)$.

Произведение в каждой из этих пар равно 1. Следовательно, итоговое произведение также равно 1.

Ответ: 1.

29.9. Вычислите:

1) $\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}$, если $\sin x = 0,21$;

2) $\operatorname{tg} x$, если $\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} = \sqrt{0,4}$;

3) $\cos x$, если $\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} = \sqrt{0,5}$;

4) $\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}$, если $\sin x = -0,44$;

5) $\sin x$, если $\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} = 0,6$;

6) $\sqrt{10} \left(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}\right)$, если $\cos x = 0,8$.

1) Требуется вычислить значение выражения $\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}$.

Возведем это выражение в квадрат:

$(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2})^2 = \sin^2 \frac{x}{2} + 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, получаем:

$(\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}) + 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} = 1 + \sin x$

По условию $\sin x = 0,21$. Подставим это значение:

$1 + 0,21 = 1,21$

Следовательно, $(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2})^2 = 1,21$.

Извлекая квадратный корень, получаем:

$\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} = \pm\sqrt{1,21} = \pm 1,1$

Так как в условии не задан промежуток для $x$, возможны оба знака.

Ответ: $\pm 1,1$.

2) Дано, что $\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} = \sqrt{0,4}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2})^2 = (\sqrt{0,4})^2$

$\sin^2 \frac{x}{2} + 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} = 0,4$

$1 + \sin x = 0,4$

Отсюда находим $\sin x$: $\sin x = 0,4 - 1 = -0,6$.

Теперь найдем $\cos x$ из основного тригонометрического тождества:

$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - (-0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$

$\cos x = \pm\sqrt{0,64} = \pm 0,8$.

Чтобы определить знак $\cos x$, проанализируем условие. Так как $\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = -0,6 < 0$, то $\sin\frac{x}{2}$ и $\cos\frac{x}{2}$ имеют разные знаки. При этом их сумма $\sin\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{2} = \sqrt{0,4} > 0$. Это означает, что $x/2$ находится в таком квадранте, где положительное значение (синуса или косинуса) по модулю больше отрицательного. Это возможно, если $x/2$ находится во II или IV квадранте, но ближе к осям OY или OX соответственно (например, $x/2 \in (\pi/2, 3\pi/4)$ или $x/2 \in (7\pi/4, 2\pi)$). В этих случаях угол $x$ будет находиться в III квадранте, где $\cos x < 0$.

Следовательно, $\cos x = -0,8$.

Теперь вычислим $\operatorname{tg}x$:

$\operatorname{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-0,6}{-0,8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0,75$

Ответ: $0,75$.

3) Дано, что $\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} = \sqrt{0,5}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2})^2 = (\sqrt{0,5})^2$

$\sin^2 \frac{x}{2} - 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} = 0,5$

$1 - \sin x = 0,5$

Отсюда находим $\sin x$: $\sin x = 1 - 0,5 = 0,5$.

Теперь найдем $\cos x$:

$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - (0,5)^2 = 1 - 0,25 = 0,75$

$\cos x = \pm\sqrt{0,75} = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Определим знак $\cos x$. Из условия $\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} = \sqrt{0,5} > 0$ следует, что $\sin \frac{x}{2} > \cos \frac{x}{2}$. Также $\sin x = 0,5 > 0$, значит $x$ находится в I или II квадранте.
Если $x$ в I квадранте, то $x/2 \in (0, \pi/4)$, где $\cos(x/2) > \sin(x/2)$, что противоречит условию.
Если $x$ во II квадранте, то $x/2 \in (\pi/4, \pi/2)$, где $\sin(x/2) > \cos(x/2)$, что соответствует условию.
Во II квадранте $\cos x$ отрицателен.

Следовательно, $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

4) Требуется вычислить значение выражения $\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}$.

Возведем это выражение в квадрат:

$(\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2})^2 = \sin^2 \frac{x}{2} - 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}$

Используя известные тождества, получаем:

$(\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}) - 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} = 1 - \sin x$

По условию $\sin x = -0,44$. Подставим это значение:

$1 - (-0,44) = 1 + 0,44 = 1,44$

Следовательно, $(\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2})^2 = 1,44$.

Извлекая квадратный корень, получаем:

$\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} = \pm\sqrt{1,44} = \pm 1,2$

Так как в условии не задан промежуток для $x$, возможны оба знака.

Ответ: $\pm 1,2$.

5) Дано, что $\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} = 0,6$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2})^2 = (0,6)^2$

$\sin^2 \frac{x}{2} + 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} = 0,36$

$1 + \sin x = 0,36$

Отсюда находим $\sin x$:

$\sin x = 0,36 - 1 = -0,64$

Ответ: $-0,64$.

6) Требуется вычислить $\sqrt{10} (\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2})$.

Пусть искомое выражение равно $A$. Тогда $A = \sqrt{10} (\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2})$.

Возведем его в квадрат:

$A^2 = \left(\sqrt{10} (\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2})\right)^2 = 10 (\sin^2 \frac{x}{2} + 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2})$

$A^2 = 10(1 + \sin x)$

Нам дан $\cos x = 0,8$. Найдем $\sin x$:

$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - (0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$

$\sin x = \pm\sqrt{0,36} = \pm 0,6$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $\sin x = 0,6$ (угол $x$ в I квадранте), то $A^2 = 10(1 + 0,6) = 10 \cdot 1,6 = 16$. Тогда $A = \pm 4$. Поскольку для $x$ в I квадранте $\sin(x/2)>0$ и $\cos(x/2)>0$, их сумма положительна, значит $A = 4$.

2. Если $\sin x = -0,6$ (угол $x$ в IV квадранте), то $A^2 = 10(1 - 0,6) = 10 \cdot 0,4 = 4$. Тогда $A = \pm 2$. Для $x$ в IV квадранте ($x \in (3\pi/2, 2\pi)$), $x/2$ находится во II квадранте ($x/2 \in (3\pi/4, \pi)$), где $\sin(x/2)>0$, а $\cos(x/2)<0$ и $|\cos(x/2)|>\sin(x/2)$. Их сумма отрицательна, значит $A = -2$.

Поскольку условие задачи не позволяет однозначно определить квадрант, существует несколько возможных ответов.

Ответ: 4 или -2 (а также -4 и 2 для других периодов $x$).

29.10. Вычислите:

1) $ \cos \frac{2\pi}{7} + \cos \frac{4\pi}{7} + \cos \frac{6\pi}{7}; $

2) $ \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7} + \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{6\pi}{7} + \cos \frac{4\pi}{7} \cos \frac{6\pi}{7}. $

1) Обозначим искомое выражение через $S_1$:

$S_1 = \cos\frac{2\pi}{7} + \cos\frac{4\pi}{7} + \cos\frac{6\pi}{7}$

Для нахождения суммы умножим обе части равенства на $2\sin\frac{\pi}{7}$. Так как $\frac{\pi}{7}$ не кратно $\pi$, то $\sin\frac{\pi}{7} \neq 0$.

$2S_1\sin\frac{\pi}{7} = 2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7} + 2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7} + 2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{6\pi}{7}$

Воспользуемся формулой преобразования произведения синуса и косинуса в разность синусов: $2\cos\beta\sin\alpha = \sin(\beta+\alpha) - \sin(\beta-\alpha)$.

Применим эту формулу к каждому слагаемому в правой части:

$2\cos\frac{2\pi}{7}\sin\frac{\pi}{7} = \sin(\frac{2\pi}{7}+\frac{\pi}{7}) - \sin(\frac{2\pi}{7}-\frac{\pi}{7}) = \sin\frac{3\pi}{7} - \sin\frac{\pi}{7}$

$2\cos\frac{4\pi}{7}\sin\frac{\pi}{7} = \sin(\frac{4\pi}{7}+\frac{\pi}{7}) - \sin(\frac{4\pi}{7}-\frac{\pi}{7}) = \sin\frac{5\pi}{7} - \sin\frac{3\pi}{7}$

$2\cos\frac{6\pi}{7}\sin\frac{\pi}{7} = \sin(\frac{6\pi}{7}+\frac{\pi}{7}) - \sin(\frac{6\pi}{7}-\frac{\pi}{7}) = \sin\frac{7\pi}{7} - \sin\frac{5\pi}{7} = \sin\pi - \sin\frac{5\pi}{7}$

Теперь сложим полученные выражения:

$2S_1\sin\frac{\pi}{7} = (\sin\frac{3\pi}{7} - \sin\frac{\pi}{7}) + (\sin\frac{5\pi}{7} - \sin\frac{3\pi}{7}) + (\sin\pi - \sin\frac{5\pi}{7})$

В правой части мы видим, что слагаемые $\sin\frac{3\pi}{7}$ и $\sin\frac{5\pi}{7}$ взаимно уничтожаются. Такая сумма называется телескопической.

$2S_1\sin\frac{\pi}{7} = \sin\pi - \sin\frac{\pi}{7}$

Зная, что $\sin\pi = 0$, получаем:

$2S_1\sin\frac{\pi}{7} = -\sin\frac{\pi}{7}$

Поскольку $\sin\frac{\pi}{7} \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на это значение:

$2S_1 = -1$

$S_1 = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

2) Обозначим искомое выражение через $S_2$:

$S_2 = \cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7} + \cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{6\pi}{7} + \cos\frac{4\pi}{7}\cos\frac{6\pi}{7}$

Для удобства введем обозначения: $a = \cos\frac{2\pi}{7}$, $b = \cos\frac{4\pi}{7}$, $c = \cos\frac{6\pi}{7}$. Тогда выражение принимает вид $S_2 = ab + ac + bc$.

Из решения пункта 1 нам известно, что сумма этих величин $S_1 = a + b + c = -\frac{1}{2}$.

Воспользуемся формулой квадрата суммы трех чисел:

$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+ac+bc)$

Подставим в эту формулу известные нам обозначения $S_1$ и $S_2$:

$S_1^2 = (a^2+b^2+c^2) + 2S_2$

$(-\frac{1}{2})^2 = (\cos^2\frac{2\pi}{7} + \cos^2\frac{4\pi}{7} + \cos^2\frac{6\pi}{7}) + 2S_2$

$\frac{1}{4} = (\cos^2\frac{2\pi}{7} + \cos^2\frac{4\pi}{7} + \cos^2\frac{6\pi}{7}) + 2S_2$

Теперь вычислим сумму квадратов косинусов, используя формулу понижения степени $\cos^2x = \frac{1+\cos(2x)}{2}$:

$\cos^2\frac{2\pi}{7} = \frac{1 + \cos(2 \cdot \frac{2\pi}{7})}{2} = \frac{1 + \cos\frac{4\pi}{7}}{2}$

$\cos^2\frac{4\pi}{7} = \frac{1 + \cos(2 \cdot \frac{4\pi}{7})}{2} = \frac{1 + \cos\frac{8\pi}{7}}{2}$

$\cos^2\frac{6\pi}{7} = \frac{1 + \cos(2 \cdot \frac{6\pi}{7})}{2} = \frac{1 + \cos\frac{12\pi}{7}}{2}$

Сложим эти три выражения:

$\cos^2\frac{2\pi}{7} + \cos^2\frac{4\pi}{7} + \cos^2\frac{6\pi}{7} = \frac{1}{2}(1 + \cos\frac{4\pi}{7} + 1 + \cos\frac{8\pi}{7} + 1 + \cos\frac{12\pi}{7}) = \frac{1}{2}(3 + \cos\frac{4\pi}{7} + \cos\frac{8\pi}{7} + \cos\frac{12\pi}{7})$

Воспользуемся свойством чётности косинуса и его периодичностью: $\cos x = \cos(2\pi - x)$.

$\cos\frac{8\pi}{7} = \cos(2\pi - \frac{6\pi}{7}) = \cos\frac{6\pi}{7}$

$\cos\frac{12\pi}{7} = \cos(2\pi - \frac{2\pi}{7}) = \cos\frac{2\pi}{7}$

Подставим эти значения обратно в сумму квадратов:

Сумма квадратов $= \frac{1}{2}(3 + \cos\frac{4\pi}{7} + \cos\frac{6\pi}{7} + \cos\frac{2\pi}{7}) = \frac{1}{2}(3 + S_1)$

Так как из пункта 1 мы знаем, что $S_1 = -\frac{1}{2}$, то сумма квадратов равна:

$\frac{1}{2}(3 + (-\frac{1}{2})) = \frac{1}{2}(3 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{4}$

Теперь вернемся к нашему основному уравнению для $S_2$:

$\frac{1}{4} = \frac{5}{4} + 2S_2$

Выразим $2S_2$:

$2S_2 = \frac{1}{4} - \frac{5}{4} = -\frac{4}{4} = -1$

Отсюда находим $S_2$:

$S_2 = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

29.11. Найдите значение выражения:

1) $\sin(\alpha - \beta)$, если $\sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{4}$; $\alpha + \beta = \frac{9\pi}{2}$;

2) $\sin(\alpha + \beta)$, если $\sin\alpha \cos\beta = -\frac{1}{4}$; $\alpha - \beta = -\frac{\pi}{2}$;

3) $5 \cos(\alpha - \beta)$, если $\cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}$; $\alpha + \beta = \frac{\pi}{3}$;

4) $4 \sin(\alpha - \beta)$, если $\sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{4}$; $\alpha + \beta = -\frac{\pi}{6}$.

1) Для решения используем формулу преобразования произведения синуса на косинус в сумму синусов: $2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)$.
Из этой формулы выразим искомое значение: $\sin(\alpha - \beta) = 2\sin\alpha\cos\beta - \sin(\alpha + \beta)$.
По условию задачи имеем $\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{4}$ и $\alpha + \beta = \frac{9\pi}{2}$.
Найдем значение $\sin(\alpha + \beta)$:$\sin(\frac{9\pi}{2}) = \sin(4\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Теперь подставим все известные значения в нашу формулу:
$\sin(\alpha - \beta) = 2 \cdot \frac{1}{4} - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

2) Используем ту же формулу: $2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)$.
Нам нужно найти $\sin(\alpha + \beta)$. Выразим его из формулы: $\sin(\alpha + \beta) = 2\sin\alpha\cos\beta - \sin(\alpha - \beta)$.
По условию задачи имеем $\sin\alpha\cos\beta = -\frac{1}{4}$ и $\alpha - \beta = -\frac{\pi}{2}$.
Найдем значение $\sin(\alpha - \beta)$:$\sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$.
Подставим известные значения в формулу:
$\sin(\alpha + \beta) = 2 \cdot (-\frac{1}{4}) - (-1) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

3) Для решения используем формулу преобразования произведения косинусов в сумму: $2\cos\alpha\cos\beta = \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)$.
Нам нужно найти $5\cos(\alpha - \beta)$. Сначала найдем $\cos(\alpha - \beta)$. Выразим его из формулы: $\cos(\alpha - \beta) = 2\cos\alpha\cos\beta - \cos(\alpha + \beta)$.
По условию задачи имеем $\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}$ и $\alpha + \beta = \frac{\pi}{3}$.
Найдем значение $\cos(\alpha + \beta)$:$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
Подставим известные значения в формулу:
$\cos(\alpha - \beta) = 2 \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Теперь найдем значение искомого выражения:
$5\cos(\alpha - \beta) = 5 \cdot \frac{1}{2} = 2.5$.
Ответ: $2.5$.

4) Вновь используем формулу $2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)$.
Нам нужно найти $4\sin(\alpha - \beta)$. Сначала найдем $\sin(\alpha - \beta)$. Выразим его из формулы: $\sin(\alpha - \beta) = 2\sin\alpha\cos\beta - \sin(\alpha + \beta)$.
По условию задачи имеем $\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{4}$ и $\alpha + \beta = -\frac{\pi}{6}$.
Найдем значение $\sin(\alpha + \beta)$:$\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.
Подставим известные значения в формулу:
$\sin(\alpha - \beta) = 2 \cdot \frac{1}{4} - (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.
Теперь найдем значение искомого выражения:
$4\sin(\alpha - \beta) = 4 \cdot 1 = 4$.
Ответ: $4$.

29.12. Вычислите:

1) $\sin^4\alpha + \cos^4\alpha$, если $\sin\alpha + \cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}};

2) $\sin^3\alpha + \cos^3\alpha$, если $\sin\alpha + \cos\alpha = 0,8;

3) $\sin^3\alpha - \cos^3\alpha$, если $\sin\alpha - \cos\alpha = 1,2;

4) $\frac{1}{\sin^4\alpha} + \frac{1}{\cos^4\alpha}$, если $\sin\alpha + \cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}};

5) $\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sin^3\alpha} + \frac{1}{\cos^3\alpha}\right)$, если $\sin\alpha + \cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}};

6) $\sin^6\alpha + \cos^6\alpha$, если $\sin\alpha + \cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.

1) $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha$, если $\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Для решения подобных задач полезно найти значение произведения $\sin \alpha \cos \alpha$. Для этого возведем в квадрат данное в условии равенство:

$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2$

$\sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{1}{2}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем:

$1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2}$

$2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$

$\sin \alpha \cos \alpha = -\frac{1}{4}$

Теперь преобразуем искомое выражение $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha$:

$\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha)^2 + (\cos^2 \alpha)^2 = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$

$\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = 1^2 - 2 (\sin \alpha \cos \alpha)^2$

Подставим найденное значение $\sin \alpha \cos \alpha = -\frac{1}{4}$:

$\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = 1 - 2 (-\frac{1}{4})^2 = 1 - 2 (\frac{1}{16}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

Ответ: $\frac{7}{8}$

2) $\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha$, если $\sin \alpha + \cos \alpha = 0,8$

Найдем произведение $\sin \alpha \cos \alpha$. Возведем в квадрат данное равенство:

$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = (0,8)^2$

$1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 0,64$

$2 \sin \alpha \cos \alpha = 0,64 - 1 = -0,36$

$\sin \alpha \cos \alpha = -0,18$

Воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

$\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = (\sin \alpha + \cos \alpha)(\sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha)$

$\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = (\sin \alpha + \cos \alpha)(1 - \sin \alpha \cos \alpha)$

Подставим известные значения:

$\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = 0,8 \cdot (1 - (-0,18)) = 0,8 \cdot (1 + 0,18) = 0,8 \cdot 1,18 = 0,944$

Ответ: $0,944$

3) $\sin^3 \alpha - \cos^3 \alpha$, если $\sin \alpha - \cos \alpha = 1,2$

Найдем произведение $\sin \alpha \cos \alpha$. Возведем в квадрат данное равенство:

$(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = (1,2)^2$

$\sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 1,44$

$1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1,44$

$-2 \sin \alpha \cos \alpha = 1,44 - 1 = 0,44$

$\sin \alpha \cos \alpha = -0,22$

Воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.

$\sin^3 \alpha - \cos^3 \alpha = (\sin \alpha - \cos \alpha)(\sin^2 \alpha + \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha)$

$\sin^3 \alpha - \cos^3 \alpha = (\sin \alpha - \cos \alpha)(1 + \sin \alpha \cos \alpha)$

Подставим известные значения:

$\sin^3 \alpha - \cos^3 \alpha = 1,2 \cdot (1 + (-0,22)) = 1,2 \cdot (1 - 0,22) = 1,2 \cdot 0,78 = 0,936$

Ответ: $0,936$

4) $\frac{1}{\sin^4 \alpha} + \frac{1}{\cos^4 \alpha}$, если $\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Найдем произведение $\sin \alpha \cos \alpha$:

$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})^2$

$1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{3}{2}$

$2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$

$\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{4}$

Преобразуем искомое выражение, приведя дроби к общему знаменателю:

$\frac{1}{\sin^4 \alpha} + \frac{1}{\cos^4 \alpha} = \frac{\cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha}{\sin^4 \alpha \cos^4 \alpha} = \frac{\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha}{(\sin \alpha \cos \alpha)^4}$

Найдем числитель, как в задаче 1: $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = 1 - 2(\sin \alpha \cos \alpha)^2$.

$\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = 1 - 2(\frac{1}{4})^2 = 1 - 2(\frac{1}{16}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

Теперь подставим значения числителя и знаменателя в дробь:

$\frac{\frac{7}{8}}{(\frac{1}{4})^4} = \frac{\frac{7}{8}}{\frac{1}{256}} = \frac{7}{8} \cdot 256 = 7 \cdot 32 = 224$

Ответ: $224$

5) $\sqrt{2} \frac{1}{\sin^3 \alpha} + \frac{1}{\cos^3 \alpha}$, если $\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Предполагая, что выражение имеет вид $\sqrt{2} (\frac{1}{\sin^3 \alpha} + \frac{1}{\cos^3 \alpha})$, начнем с нахождения $\sin \alpha \cos \alpha$. Из задачи 1 мы знаем, что если $\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$, то $\sin \alpha \cos \alpha = -\frac{1}{4}$.

Преобразуем выражение в скобках:

$\frac{1}{\sin^3 \alpha} + \frac{1}{\cos^3 \alpha} = \frac{\cos^3 \alpha + \sin^3 \alpha}{\sin^3 \alpha \cos^3 \alpha} = \frac{\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha}{(\sin \alpha \cos \alpha)^3}$

Найдем числитель, как в задаче 2: $\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = (\sin \alpha + \cos \alpha)(1 - \sin \alpha \cos \alpha)$.

$\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} (1 - (-\frac{1}{4})) = \frac{1}{\sqrt{2}} (1 + \frac{1}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{5}{4} = \frac{5}{4\sqrt{2}}$

Теперь найдем значение всей дроби:

$\frac{\frac{5}{4\sqrt{2}}}{(-\frac{1}{4})^3} = \frac{\frac{5}{4\sqrt{2}}}{-\frac{1}{64}} = \frac{5}{4\sqrt{2}} \cdot (-64) = -\frac{5 \cdot 16}{\sqrt{2}} = -\frac{80}{\sqrt{2}} = -40\sqrt{2}$

И, наконец, умножим на $\sqrt{2}$:

$\sqrt{2} \cdot (-40\sqrt{2}) = -40 \cdot 2 = -80$

Ответ: $-80$

6) $\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha$, если $\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Из задачи 4 мы знаем, что если $\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$, то $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{4}$.

Преобразуем искомое выражение, рассматривая его как сумму кубов $(\sin^2 \alpha)^3 + (\cos^2 \alpha)^3$:

$\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)(\sin^4 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha)$

Так как $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, выражение упрощается:

$\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$

Мы уже знаем, что $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$. Подставим это:

$\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = (1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$

$\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = 1 - 3(\sin \alpha \cos \alpha)^2$

Подставим значение $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{4}$:

$\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = 1 - 3(\frac{1}{4})^2 = 1 - 3(\frac{1}{16}) = 1 - \frac{3}{16} = \frac{13}{16}$

Ответ: $\frac{13}{16}$