Страница 106, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1. Почему график числовой последовательности состоит из изолированных точек?

2. Почему последовательности $1; \frac{1}{2}; \frac{1}{3}; \frac{1}{4}; \dots ; \frac{1}{n}$ и 1; 1,7; 1,73; 1,7320; 1,73205; $\dots (\sqrt{3} = 1,732050807 \dots)$ являются ограниченными?

1. Числовая последовательность по определению является функцией $y = f(n)$, область определения которой — это множество натуральных чисел $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$. График такой функции представляет собой набор точек с координатами $(n, a_n)$, где $n$ — номер члена последовательности, а $a_n$ — его значение. Поскольку аргумент $n$ может быть только натуральным числом, на оси абсцисс мы откладываем только значения $1, 2, 3$ и так далее. Между этими значениями нет других, для которых функция была бы определена (например, не существует члена последовательности с номером $1,5$). Следовательно, точки графика $(1, a_1)$, $(2, a_2)$, $(3, a_3)$, ... оказываются отделены друг от друга и не образуют сплошной линии.
Ответ: График числовой последовательности состоит из изолированных точек потому, что ее область определения — множество натуральных чисел — является дискретным (прерывистым), а не непрерывным.

2. Последовательность называется ограниченной, если существуют такие числа $m$ и $M$, что для любого члена последовательности $x_n$ выполняется неравенство $m \le x_n \le M$. То есть все члены последовательности лежат в некотором конечном интервале.
Рассмотрим последовательность $x_n = \frac{1}{n}$: $1; \frac{1}{2}; \frac{1}{3}; \frac{1}{4}; \dots$.
С одной стороны, так как $n$ — натуральное число, то $n > 0$ и, соответственно, $x_n = \frac{1}{n} > 0$. Это значит, что последовательность ограничена снизу числом 0.
С другой стороны, наибольшим членом является первый, $x_1=1$. Для любого $n \ge 1$ выполняется $x_n \le 1$. Это значит, что последовательность ограничена сверху числом 1.
Так как для всех членов выполняется $0 < x_n \le 1$, последовательность является ограниченной.
Рассмотрим последовательность десятичных приближений числа $\sqrt{3}$: $y_n: 1; 1,7; 1,73; 1,7320; 1,73205, \dots$.
Эта последовательность является неубывающей. Ее первый член равен 1, поэтому все члены не меньше 1: $y_n \ge 1$. Последовательность ограничена снизу.
По своему построению, каждый член этой последовательности является приближением числа $\sqrt{3}$ с недостатком, а значит, не превосходит само число $\sqrt{3}$. То есть, $y_n \le \sqrt{3} \approx 1,732\dots$. Можно также взять любое число, которое заведомо больше $\sqrt{3}$, например, 2. Все члены последовательности меньше 2. Значит, последовательность ограничена сверху.
Так как для всех членов выполняется $1 \le y_n \le \sqrt{3}$, эта последовательность также является ограниченной.
Ответ: Обе последовательности являются ограниченными, потому что для каждой из них можно указать число, которое больше всех ее членов (верхняя граница), и число, которое меньше всех ее членов (нижняя граница).

30.17. Известно, что график функции $y = x^2 - ax + 4$ проходит через точку $M(-1; 3)$. Постройте график этой функции и найдите наименьшее значение функции.

По условию задачи, график функции $y = x^2 - ax + 4$ проходит через точку M с координатами $(-1; 3)$. Это означает, что при подстановке координат точки в уравнение функции мы получим верное равенство. Подставим $x = -1$ и $y = 3$ в уравнение:

$3 = (-1)^2 - a \cdot (-1) + 4$

$3 = 1 + a + 4$

$3 = 5 + a$

$a = 3 - 5$

$a = -2$

Таким образом, искомая функция имеет вид: $y = x^2 - (-2)x + 4$, то есть $y = x^2 + 2x + 4$.

Постройте график этой функции

Графиком функции $y = x^2 + 2x + 4$ является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$

Ордината вершины находится подстановкой $x_0$ в уравнение функции:

$y_0 = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) + 4 = 1 - 2 + 4 = 3$

Вершина параболы находится в точке $(-1; 3)$, что совпадает с точкой M.

Для построения графика найдем еще несколько точек.

При $x = 0$, $y = 0^2 + 2 \cdot 0 + 4 = 4$. Точка $(0; 4)$.

В силу симметрии параболы относительно оси $x = -1$, при $x = -2$ значение $y$ будет таким же, как и при $x=0$, то есть $y=4$. Точка $(-2; 4)$.

При $x = 1$, $y = 1^2 + 2 \cdot 1 + 4 = 7$. Точка $(1; 7)$.

Симметричная ей точка при $x = -3$ также будет иметь ординату $y = 7$. Точка $(-3; 7)$.

Построим график, используя найденные точки: $(-1; 3)$, $(0; 4)$, $(-2; 4)$, $(1; 7)$, $(-3; 7)$.

Ответ: График функции $y = x^2 + 2x + 4$ построен выше.

Найдите наименьшее значение функции

Так как функция $y = x^2 + 2x + 4$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх, ее наименьшее значение достигается в вершине.

Координаты вершины мы уже нашли: $(-1; 3)$.

Наименьшее значение функции равно ординате вершины.

$y_{min} = y_0 = 3$.

Ответ: 3.

30.18. PISA

На диаграмме (рис. 79) показано количество цветов в цветочном магазине. Сколько гвоздик в магазине, если всего цветов 900 штук и гвоздик в целое число раз больше, чем астр?

астры

гвоздики

хризантемы

розы

Рис. 79

Для решения задачи проанализируем круговую диаграмму и используем данные из условия.

1. Анализ диаграммы.
Диаграмма показывает распределение четырех видов цветов: розы, хризантемы, гвоздики и астры.
Сектор, соответствующий розам, занимает ровно половину круга, что составляет $1/2$ или $50\%$ от общего количества.
Сектор, соответствующий хризантемам, занимает четверть круга, что составляет $1/4$ или $25\%$ от общего количества.
Оставшаяся четверть круга ($1/4$) приходится на гвоздики и астры вместе.

2. Расчет количества цветов.
Всего в магазине 900 цветов.
Количество роз: $900 \cdot \frac{1}{2} = 450$ штук.
Количество хризантем: $900 \cdot \frac{1}{4} = 225$ штук.
Количество гвоздик и астр вместе: $900 - 450 - 225 = 225$ штук.

3. Нахождение количества гвоздик.
Пусть $А$ — количество астр, а $Г$ — количество гвоздик. Тогда $Г + А = 225$.
По условию, гвоздик в целое число раз больше, чем астр. Это можно записать как $Г = k \cdot А$, где $k$ — целое число.
Из диаграммы видно, что сектор гвоздик больше сектора астр, значит $k \ge 2$.
Подставим $Г = k \cdot А$ в уравнение $Г + А = 225$:
$k \cdot А + А = 225$
$А \cdot (k + 1) = 225$
Отсюда следует, что $(k+1)$ должно быть делителем числа 225, и при этом $k+1 \ge 3$.
Делители числа 225: 1, 3, 5, 9, 15, 25, 45, 75, 225.
Возможные значения для $(k+1)$: 3, 5, 9, 15, 25, 45, 75, 225.
Соответствующие значения для $k$: 2, 4, 8, 14, 24, 44, 74, 224.

Сектор, отведенный под гвоздики и астры, составляет $90^\circ$. Визуально сектор гвоздик примерно в два раза больше сектора астр. Проверим эту гипотезу.
Если $k = 2$, то $(k+1) = 3$.
Количество астр: $А = 225 / 3 = 75$ штук.
Количество гвоздик: $Г = 2 \cdot 75 = 150$ штук.
Проверка: $75 + 150 = 225$. Это решение удовлетворяет всем условиям.

Рассмотрим другие возможные варианты:
Если $k=4$, то $А = 225 / 5 = 45$, а $Г = 4 \cdot 45 = 180$. В этом случае сектор гвоздик был бы в 4 раза больше сектора астр, что не соответствует диаграмме.
Наиболее правдоподобным, исходя из визуального представления на диаграмме, является соотношение $k=2$.

Ответ: 150 гвоздик.

30.19. Если бросается игральная кость, то какие элементарные события соответствуют тому, что выпавшее число очков:

1) четное;

2) нечетное;

3) больше 3?

При броске стандартной игральной кости, имеющей 6 граней с числами от 1 до 6, множество всех возможных элементарных событий (исходов) представляет собой набор чисел: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Рассмотрим каждое условие отдельно.

1) четное; Событию "выпавшее число очков четное" соответствуют элементарные события, при которых на кости выпадает четное число. Из множества $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ четными являются числа 2, 4 и 6. Таким образом, искомые элементарные события — это выпадение двойки, четверки или шестерки. Ответ: $\{2, 4, 6\}$.

2) нечетное; Событию "выпавшее число очков нечетное" соответствуют элементарные события, при которых на кости выпадает нечетное число. Из множества $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ нечетными являются числа 1, 3 и 5. Таким образом, искомые элементарные события — это выпадение единицы, тройки или пятерки. Ответ: $\{1, 3, 5\}$.

3) больше 3? Событию "выпавшее число очков больше 3" соответствуют элементарные события, при которых на кости выпадает число, строго большее 3. Из множества $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ такими числами являются 4, 5 и 6. Таким образом, искомые элементарные события — это выпадение четверки, пятерки или шестерки. Ответ: $\{4, 5, 6\}$.

30.20.Составьте несколько правильных обыкновенных дробей, если числа, стоящие в числителе этой дроби, выбираются из множества натуральных чисел, принадлежащих интервалу $(2; 6)$, а числа, стоящие в знаменателе, — из множества натуральных чисел, принадлежащих интервалу $(5; 8)$.

Правильная обыкновенная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Для составления таких дробей нам необходимо сначала определить множества возможных чисел для числителя и знаменателя.

1. Определение множества для числителя.

Согласно условию, числа для числителя выбираются из множества натуральных чисел, принадлежащих интервалу $(2; 6)$. Натуральные числа — это целые положительные числа. В открытый интервал $(2; 6)$ входят натуральные числа, которые строго больше $2$ и строго меньше $6$.

Это числа: $3, 4, 5$.

Итак, множество возможных числителей: $\{3, 4, 5\}$.

2. Определение множества для знаменателя.

Числа для знаменателя выбираются из множества натуральных чисел, принадлежащих интервалу $(5; 8)$. В открытый интервал $(5; 8)$ входят натуральные числа, которые строго больше $5$ и строго меньше $8$.

Это числа: $6, 7$.

Итак, множество возможных знаменателей: $\{6, 7\}$.

3. Составление правильных дробей.

Теперь составим все возможные дроби, где числитель (из множества $\{3, 4, 5\}$) меньше знаменателя (из множества $\{6, 7\}$).

Возьмем числитель $3$:
- Если знаменатель $6$, то $3 < 6$, дробь $\frac{3}{6}$ — правильная.
- Если знаменатель $7$, то $3 < 7$, дробь $\frac{3}{7}$ — правильная.

Возьмем числитель $4$:
- Если знаменатель $6$, то $4 < 6$, дробь $\frac{4}{6}$ — правильная.
- Если знаменатель $7$, то $4 < 7$, дробь $\frac{4}{7}$ — правильная.

Возьмем числитель $5$:
- Если знаменатель $6$, то $5 < 6$, дробь $\frac{5}{6}$ — правильная.
- Если знаменатель $7$, то $5 < 7$, дробь $\frac{5}{7}$ — правильная.

Таким образом, мы нашли все возможные правильные дроби, которые можно составить по заданным условиям.

Ответ: $\frac{3}{6}, \frac{4}{6}, \frac{5}{6}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}$.