Страница 15, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

3.16 a) Найдите все натуральные числа, кубы которых — трёхзначные числа;

б) запишите множество $M$ таких трёхзначных чисел, перечислив их в порядке убывания;

в) запишите множество $A$ последних цифр элементов множества $M$, перечислив их в порядке возрастания;

г) сколькими способами можно перечислить различные между собой вторые цифры чисел из множества $M$?

а) Нам нужно найти все натуральные числа $n$, кубы которых, $n^3$, являются трёхзначными числами. Трёхзначные числа — это целые числа в диапазоне от 100 до 999. Таким образом, мы ищем решения неравенства $100 \le n^3 \le 999$ в натуральных числах.

Подберём значения $n$, последовательно возводя натуральные числа в куб:

$4^3 = 64$ (это двузначное число, поэтому $n > 4$).

$5^3 = 125$ (это трёхзначное число, значит 5 — первое искомое число).

$6^3 = 216$ (трёхзначное).

$7^3 = 343$ (трёхзначное).

$8^3 = 512$ (трёхзначное).

$9^3 = 729$ (трёхзначное).

$10^3 = 1000$ (это четырёхзначное число, поэтому $n < 10$).

Следовательно, искомые натуральные числа — это все целые числа от 5 до 9 включительно.

Ответ: 5, 6, 7, 8, 9.

б) Множество $M$ состоит из трёхзначных чисел, которые являются кубами натуральных чисел, найденных в пункте а). Это кубы чисел 5, 6, 7, 8, 9.

Вычислим эти кубы:

$5^3 = 125$

$6^3 = 216$

$7^3 = 343$

$8^3 = 512$

$9^3 = 729$

Теперь необходимо перечислить элементы множества $M$ в порядке убывания.

Ответ: $M = \{729, 512, 343, 216, 125\}$.

в) Множество $A$ — это множество последних цифр элементов множества $M$. Элементы множества $M$: 729, 512, 343, 216, 125.

Найдём последние цифры каждого элемента:

Последняя цифра числа 729 — это 9.

Последняя цифра числа 512 — это 2.

Последняя цифра числа 343 — это 3.

Последняя цифра числа 216 — это 6.

Последняя цифра числа 125 — это 5.

Таким образом, множество $A$ состоит из цифр $\{9, 2, 3, 6, 5\}$. Согласно условию, их нужно перечислить в порядке возрастания.

Ответ: $A = \{2, 3, 5, 6, 9\}$.

г) Требуется найти, сколькими способами можно перечислить различные между собой вторые цифры чисел из множества $M$.

Сначала найдём вторые цифры (цифры в разряде десятков) для каждого числа из множества $M = \{729, 512, 343, 216, 125\}$:

Вторая цифра числа 729 — это 2.

Вторая цифра числа 512 — это 1.

Вторая цифра числа 343 — это 4.

Вторая цифра числа 216 — это 1.

Вторая цифра числа 125 — это 2.

Выпишем множество различных (неповторяющихся) вторых цифр. Мы получили цифры 1, 2, 4. Итак, множество различных вторых цифр: $\{1, 2, 4\}$.

Количество элементов в этом множестве равно 3. Вопрос "сколькими способами можно перечислить" означает, что нужно найти число всех возможных упорядоченных последовательностей (перестановок) из этих трёх элементов. Число перестановок из $k$ различных элементов вычисляется по формуле $P_k = k!$.

В нашем случае $k=3$, поэтому количество способов равно:

$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

Ответ: 6.

3.17 Запишите заданное множество в виде числового промежутка:

а) ${x | 3(x+1) - x^2 > 5}$;

б) ${x | 18(x^2 + 1) \le -85x}$.

а)

Заданное множество определяется неравенством $3(x + 1) - x^2 > 5$. Для того чтобы записать это множество в виде числового промежутка, необходимо решить данное неравенство.

1. Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в одну сторону:
$3x + 3 - x^2 > 5$
$-x^2 + 3x + 3 - 5 > 0$
$-x^2 + 3x - 2 > 0$

2. Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив при этом знак неравенства на противоположный:
$x^2 - 3x + 2 < 0$

3. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна $3$, а их произведение равно $2$. Следовательно, корни уравнения:
$x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

4. Графиком функции $y = x^2 - 3x + 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$). Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x=1$ и $x=2$. Неравенство $x^2 - 3x + 2 < 0$ выполняется на интервале между корнями.
Таким образом, решением неравенства является $1 < x < 2$.

5. Запишем полученное решение в виде числового промежутка.
$(1, 2)$.

Ответ: $(1, 2)$.

б)

Заданное множество определяется неравенством $18(x^2 + 1) \le -85x$. Для того чтобы записать это множество в виде числового промежутка, необходимо решить данное неравенство.

1. Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в одну сторону:
$18x^2 + 18 \le -85x$
$18x^2 + 85x + 18 \le 0$

2. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $18x^2 + 85x + 18 = 0$.
Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 85^2 - 4 \cdot 18 \cdot 18 = 7225 - 1296 = 5929$.
$\sqrt{D} = \sqrt{5929} = 77$.

3. Найдем корни уравнения:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-85 \pm 77}{2 \cdot 18} = \frac{-85 \pm 77}{36}$
$x_1 = \frac{-85 - 77}{36} = \frac{-162}{36} = -\frac{9 \cdot 18}{2 \cdot 18} = -\frac{9}{2}$
$x_2 = \frac{-85 + 77}{36} = \frac{-8}{36} = -\frac{2 \cdot 4}{9 \cdot 4} = -\frac{2}{9}$

4. Графиком функции $y = 18x^2 + 85x + 18$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($18 > 0$). Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x = -\frac{9}{2}$ и $x = -\frac{2}{9}$. Неравенство $18x^2 + 85x + 18 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.
Таким образом, решением неравенства является $-\frac{9}{2} \le x \le -\frac{2}{9}$.

5. Запишем полученное решение в виде числового промежутка.
$[-\frac{9}{2}, -\frac{2}{9}]$.

Ответ: $[-\frac{9}{2}, -\frac{2}{9}]$.

3.18 В записи «$* \in \{4, \Delta, 9\}$» вместо значков $*$ и $\Delta$ можно поставить любые цифры, меньшие 3. Будут получаться различные утверждения:

$0 \in \{4, 0, 9\}$, $1 \in \{4, 2, 9\}$ и т. п.

а) Сколько получится утверждений, в которых на первом месте стоит цифра 2?

б) Сколько получится утверждений, в которых на месте $\Delta$ стоит положительная цифра?

в) Сколько всего утверждений получится?

г) Какую часть из всех утверждений составляют верные утверждения?

а) Согласно условию, вместо значков $*$ и $\Delta$ можно поставить любые цифры, меньшие 3. Такими цифрами являются 0, 1 и 2. В данном подпункте требуется найти количество утверждений, в которых на первом месте (на месте значка $*$) стоит цифра 2. Это означает, что значение $*$ зафиксировано: $* = 2$. При этом значение $\Delta$ может быть любым из доступного набора цифр {0, 1, 2}. Таким образом, для $\Delta$ есть 3 возможных варианта, что приводит к 3 различным утверждениям: $2 \in \{4, 0, 9\}$, $2 \in \{4, 1, 9\}$ и $2 \in \{4, 2, 9\}$.
Ответ: 3

б) Требуется найти количество утверждений, в которых на месте $\Delta$ стоит положительная цифра. Из доступного набора цифр {0, 1, 2} положительными являются 1 и 2. Значит, для $\Delta$ есть 2 возможных варианта. Для значка $*$ по-прежнему доступны все 3 варианта: {0, 1, 2}. Чтобы найти общее количество таких утверждений, нужно перемножить количество вариантов для каждого значка, используя комбинаторное правило произведения: $N = (\text{количество вариантов для } *) \times (\text{количество вариантов для } \Delta) = 3 \times 2 = 6$.
Ответ: 6

в) Требуется найти общее количество утверждений, которые можно составить. Для значка $*$ есть 3 возможных варианта: {0, 1, 2}. Для значка $\Delta$ также есть 3 возможных варианта: {0, 1, 2}. Общее количество утверждений равно произведению числа вариантов для каждого значка: $N_{общ} = (\text{количество вариантов для } *) \times (\text{количество вариантов для } \Delta) = 3 \times 3 = 9$.
Ответ: 9

г) Требуется найти, какую часть из всех утверждений составляют верные утверждения. Утверждение вида $* \in \{4, \Delta, 9\}$ является верным, если число, стоящее на месте $*$, является одним из элементов множества $\{4, \Delta, 9\}$. То есть, утверждение верно, если $*=4$ или $*=\Delta$ или $*=9$. По условию, $*$ может принимать только значения из набора {0, 1, 2}. Следовательно, равенства $*=4$ и $*=9$ невозможны. Таким образом, утверждение будет верным только в том случае, если $* = \Delta$. Найдем количество таких случаев. Так как для $*$ и $\Delta$ доступны одни и те же значения {0, 1, 2}, то равенство $*=\Delta$ возможно в трех случаях: при $* = 0, \Delta = 0$ (утверждение $0 \in \{4, 0, 9\}$); при $* = 1, \Delta = 1$ (утверждение $1 \in \{4, 1, 9\}$); при $* = 2, \Delta = 2$ (утверждение $2 \in \{4, 2, 9\}$). Всего существует 3 верных утверждения. Общее количество утверждений, как мы нашли в пункте (в), равно 9. Искомая часть равна отношению количества верных утверждений к общему количеству утверждений: $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$

3.19 Известно, что $a, b, c, d$ — попарно различные числа. В записи «* $\square \{\Delta, c, d\}$» на места * и $\Delta$ можно поставить числа $a$ или $b$, а на место $\square$ можно поставить знак $\in$ или знак $\notin$. Будут получаться различные утверждения.

а) Сколько получится утверждений, в которых нет числа b?

Утверждение имеет вид $* \square \{\Delta, c, d\}$.
Чтобы в утверждении не было числа $b$, оно не должно стоять ни на месте $*$, ни на месте $\Delta$.
- На место $*$ можно поставить только число $a$ (1 вариант).
- На место $\Delta$ можно поставить только число $a$ (1 вариант).
- На место $\square$ можно поставить любой из двух знаков: $\in$ или $\notin$ (2 варианта).
Общее число таких утверждений находится перемножением числа вариантов для каждой позиции: $1 \times 2 \times 1 = 2$.
Это утверждения: $a \in \{a, c, d\}$ и $a \notin \{a, c, d\}$.
Ответ: 2.

б) Сколько получится утверждений, в которых использован знак ∉?

Чтобы в утверждении был использован знак $\notin$, его нужно поставить на место $\square$.
- На место $*$ можно поставить любое из двух чисел: $a$ или $b$ (2 варианта).
- На место $\square$ можно поставить только знак $\notin$ (1 вариант).
- На место $\Delta$ можно поставить любое из двух чисел: $a$ или $b$ (2 варианта).
Общее число таких утверждений: $2 \times 1 \times 2 = 4$.
Ответ: 4.

в) Сколько всего утверждений получится?

Для составления утверждения нужно сделать три независимых выбора:
- Выбор числа для позиции $*$: $a$ или $b$ (2 варианта).
- Выбор знака для позиции $\square$: $\in$ или $\notin$ (2 варианта).
- Выбор числа для позиции $\Delta$: $a$ или $b$ (2 варианта).
Общее число всех возможных утверждений равно произведению числа вариантов для каждого выбора: $2 \times 2 \times 2 = 8$.
Ответ: 8.

г) Какую часть из всех утверждений составляют неверные утверждения, начинающиеся с числа a?

Сначала найдем все утверждения, начинающиеся с числа $a$. Это означает, что на месте $*$ стоит $a$.
- На месте $*$ стоит $a$ (1 вариант).
- На месте $\square$ может стоять $\in$ или $\notin$ (2 варианта).
- На месте $\Delta$ может стоять $a$ или $b$ (2 варианта).
Всего таких утверждений $1 \times 2 \times 2 = 4$. Перечислим их и определим их истинность, учитывая, что числа $a, b, c, d$ попарно различны.
1. $a \in \{a, c, d\}$: Утверждение истинно, так как элемент $a$ содержится в множестве.
2. $a \in \{b, c, d\}$: Утверждение неверно, так как $a \neq b$, $a \neq c$ и $a \neq d$.
3. $a \notin \{a, c, d\}$: Утверждение неверно, так как оно является отрицанием истинного утверждения (1).
4. $a \notin \{b, c, d\}$: Утверждение истинно, так как оно является отрицанием неверного утверждения (2).
Таким образом, существует 2 неверных утверждения, начинающихся с числа $a$.
Всего, как мы выяснили в пункте в), существует 8 различных утверждений.
Искомая часть равна отношению числа неверных утверждений, начинающихся с $a$, к общему числу утверждений: $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

3.20 Даны три числовых промежутка:

$A = (7; 7; 11), B = [\sqrt{97}; \sqrt{167}], C = (\sqrt{101}; 13]$.

Найдите множества:

а) $(A \cap B) \cap C;$

б) $(A \cap B) \cup C;$

в) $(A \cup B) \cap C;$

г) $(A \cup B) \cup C.$

Для решения задачи сначала определим примерные значения границ промежутков и их взаимное расположение на числовой оси.

Даны множества:

• $A = (7; 11)$
• $B = [\sqrt{97}; \sqrt{167}]$
• $C = (\sqrt{101}; 13]$

Оценим значения корней:

• $9^2 = 81$, $10^2 = 100 \implies 9 < \sqrt{97} < 10$.
• $10^2 = 100$, $11^2 = 121 \implies 10 < \sqrt{101} < 11$.
• $12^2 = 144$, $13^2 = 169 \implies 12 < \sqrt{167} < 13$.

Расположим все граничные точки на числовой прямой в порядке возрастания:

$7 = \sqrt{49}$

$11 = \sqrt{121}$

$13 = \sqrt{169}$

Поскольку $49 < 97 < 101 < 121 < 167 < 169$, то справедлива следующая последовательность:

$7 < \sqrt{97} < \sqrt{101} < 11 < \sqrt{167} < 13$.

Теперь найдем промежуточные множества $A \cap B$ и $A \cup B$.

Пересечение $A \cap B$:

Нужно найти общие элементы для $A = (7; 11)$ и $B = [\sqrt{97}; \sqrt{167}]$.

Нижняя граница пересечения — это наибольшая из нижних границ, то есть $\max(7, \sqrt{97}) = \sqrt{97}$.

Верхняя граница пересечения — это наименьшая из верхних границ, то есть $\min(11, \sqrt{167}) = 11$.

Поскольку $\sqrt{97}$ входит в множество B, а 11 не входит в множество A, получаем:

$A \cap B = [\sqrt{97}; 11)$.

Объединение $A \cup B$:

Нужно объединить элементы $A = (7; 11)$ и $B = [\sqrt{97}; \sqrt{167}]$.

Так как $\sqrt{97} < 11$, эти промежутки пересекаются.

Нижняя граница объединения — это наименьшая из нижних границ, то есть $\min(7, \sqrt{97}) = 7$.

Верхняя граница объединения — это наибольшая из верхних границ, то есть $\max(11, \sqrt{167}) = \sqrt{167}$.

Поскольку 7 не входит в множество A, а $\sqrt{167}$ входит в множество B, получаем:

$A \cup B = (7; \sqrt{167}]$.

Теперь решим поставленные задачи.

а) $(A \cap B) \cap C$

Нам нужно найти пересечение множества $A \cap B = [\sqrt{97}; 11)$ и множества $C = (\sqrt{101}; 13]$.

Нижняя граница итогового множества: $\max(\sqrt{97}, \sqrt{101}) = \sqrt{101}$. Скобка круглая, так как $\sqrt{101}$ не входит в C.

Верхняя граница итогового множества: $\min(11, 13) = 11$. Скобка круглая, так как 11 не входит в $A \cap B$.

Следовательно, $(A \cap B) \cap C = (\sqrt{101}; 11)$.

Ответ: $(\sqrt{101}; 11)$

б) $(A \cap B) \cup C$

Нам нужно найти объединение множества $A \cap B = [\sqrt{97}; 11)$ и множества $C = (\sqrt{101}; 13]$.

Поскольку $\sqrt{101} < 11$, эти промежутки пересекаются.

Нижняя граница итогового множества: $\min(\sqrt{97}, \sqrt{101}) = \sqrt{97}$. Скобка квадратная, так как $\sqrt{97}$ входит в $A \cap B$.

Верхняя граница итогового множества: $\max(11, 13) = 13$. Скобка квадратная, так как 13 входит в C.

Следовательно, $(A \cap B) \cup C = [\sqrt{97}; 13]$.

Ответ: $[\sqrt{97}; 13]$

в) $(A \cup B) \cap C$

Нам нужно найти пересечение множества $A \cup B = (7; \sqrt{167}]$ и множества $C = (\sqrt{101}; 13]$.

Нижняя граница итогового множества: $\max(7, \sqrt{101}) = \sqrt{101}$. Скобка круглая, так как $\sqrt{101}$ не входит в C.

Верхняя граница итогового множества: $\min(\sqrt{167}, 13) = \sqrt{167}$. Скобка квадратная, так как $\sqrt{167}$ входит и в $A \cup B$, и в C (поскольку $\sqrt{101} < \sqrt{167} \le 13$).

Следовательно, $(A \cup B) \cap C = (\sqrt{101}; \sqrt{167}]$.

Ответ: $(\sqrt{101}; \sqrt{167}]$

г) $(A \cup B) \cup C$

Нам нужно найти объединение множества $A \cup B = (7; \sqrt{167}]$ и множества $C = (\sqrt{101}; 13]$.

Это эквивалентно объединению всех трех множеств $A \cup B \cup C$.

Нижняя граница итогового множества: $\min(7, \sqrt{101}) = 7$. Скобка круглая, так как 7 не входит в $A \cup B$.

Верхняя граница итогового множества: $\max(\sqrt{167}, 13) = 13$. Скобка квадратная, так как 13 входит в C.

Следовательно, $(A \cup B) \cup C = (7; 13]$.

Ответ: $(7; 13]$