Страница 17, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

4.1 Является ли число 5 решением системы неравенств:

a) $\begin{cases} 4x - 3 < 2x + 10, \\ 7 - 2x > x + 11; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x + 5 < 7x - 8, \\ 12 - x > 3x - 11; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 10 - 6x < 8x - 40, \\ 4x - 1 > 5x - 3; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 8 + x < 3x + 2, \\ 19 - 2x > x + 3? \end{cases}$

Чтобы определить, является ли число 5 решением системы неравенств, необходимо подставить значение $x=5$ в каждое неравенство, входящее в систему. Число является решением системы, если оно удовлетворяет каждому из неравенств системы.

а)

Рассмотрим систему: $\begin{cases} 4x - 3 < 2x + 10 \\ 7 - 2x > x + 11 \end{cases}$

Подставим $x=5$ в первое неравенство:

$4(5) - 3 < 2(5) + 10$

$20 - 3 < 10 + 10$

$17 < 20$

Первое неравенство является верным.

Подставим $x=5$ во второе неравенство:

$7 - 2(5) > 5 + 11$

$7 - 10 > 16$

$-3 > 16$

Второе неравенство является неверным. Поскольку число 5 не удовлетворяет второму неравенству, оно не является решением системы.

Ответ: не является.

б)

Рассмотрим систему: $\begin{cases} 2x + 5 < 7x - 8 \\ 12 - x > 3x - 11 \end{cases}$

Подставим $x=5$ в первое неравенство:

$2(5) + 5 < 7(5) - 8$

$10 + 5 < 35 - 8$

$15 < 27$

Первое неравенство является верным.

Подставим $x=5$ во второе неравенство:

$12 - 5 > 3(5) - 11$

$7 > 15 - 11$

$7 > 4$

Второе неравенство является верным. Поскольку число 5 удовлетворяет обоим неравенствам, оно является решением системы.

Ответ: является.

в)

Рассмотрим систему: $\begin{cases} 10 - 6x < 8x - 40 \\ 4x - 1 > 5x - 3 \end{cases}$

Подставим $x=5$ в первое неравенство:

$10 - 6(5) < 8(5) - 40$

$10 - 30 < 40 - 40$

$-20 < 0$

Первое неравенство является верным.

Подставим $x=5$ во второе неравенство:

$4(5) - 1 > 5(5) - 3$

$20 - 1 > 25 - 3$

$19 > 22$

Второе неравенство является неверным. Поскольку число 5 не удовлетворяет второму неравенству, оно не является решением системы.

Ответ: не является.

г)

Рассмотрим систему: $\begin{cases} 8 + x < 3x + 2 \\ 19 - 2x > x + 3 \end{cases}$

Подставим $x=5$ в первое неравенство:

$8 + 5 < 3(5) + 2$

$13 < 15 + 2$

$13 < 17$

Первое неравенство является верным.

Подставим $x=5$ во второе неравенство:

$19 - 2(5) > 5 + 3$

$19 - 10 > 8$

$9 > 8$

Второе неравенство является верным. Поскольку число 5 удовлетворяет обоим неравенствам, оно является решением системы.

Ответ: является.

4.2 a) Какое из чисел -2; 0; 5; 6 является решением системы неравенств

$\begin{cases} 3x - 22 < 0, \\ 2x - 1 > 3? \end{cases}$

б) Какое из чисел -3; 1,5; 4,8 является решением системы неравенств

$\begin{cases} 4x - 7 < 0, \\ 3x + 2 > 5? \end{cases}$

а) Чтобы определить, какое из чисел (-2; 0; 5; 6) является решением системы, необходимо подставить каждое из них в оба неравенства. Число является решением системы, если оно удовлетворяет каждому неравенству в системе.

Данная система неравенств:

$ \begin{cases} 3x - 22 < 0, \\ 2x - 1 > 3 \end{cases} $

Проверим каждое число:

1. Для $x = -2$:

Первое неравенство: $3(-2) - 22 = -6 - 22 = -28$. Так как $-28 < 0$, неравенство верно.

Второе неравенство: $2(-2) - 1 = -4 - 1 = -5$. Так как $-5 > 3$ — это ложь, неравенство неверно.

Число -2 не является решением системы.

2. Для $x = 0$:

Первое неравенство: $3(0) - 22 = 0 - 22 = -22$. Так как $-22 < 0$, неравенство верно.

Второе неравенство: $2(0) - 1 = 0 - 1 = -1$. Так как $-1 > 3$ — это ложь, неравенство неверно.

Число 0 не является решением системы.

3. Для $x = 5$:

Первое неравенство: $3(5) - 22 = 15 - 22 = -7$. Так как $-7 < 0$, неравенство верно.

Второе неравенство: $2(5) - 1 = 10 - 1 = 9$. Так как $9 > 3$, неравенство верно.

Так как оба неравенства выполняются, число 5 является решением системы.

4. Для $x = 6$:

Первое неравенство: $3(6) - 22 = 18 - 22 = -4$. Так как $-4 < 0$, неравенство верно.

Второе неравенство: $2(6) - 1 = 12 - 1 = 11$. Так как $11 > 3$, неравенство верно.

Так как оба неравенства выполняются, число 6 является решением системы.

Ответ: 5; 6.

б) Чтобы определить, какое из чисел (-3; 1,5; 4,8) является решением системы, необходимо подставить каждое из них в оба неравенства.

Данная система неравенств:

$ \begin{cases} 4x - 7 < 0, \\ 3x + 2 > 5 \end{cases} $

Проверим каждое число:

1. Для $x = -3$:

Первое неравенство: $4(-3) - 7 = -12 - 7 = -19$. Так как $-19 < 0$, неравенство верно.

Второе неравенство: $3(-3) + 2 = -9 + 2 = -7$. Так как $-7 > 5$ — это ложь, неравенство неверно.

Число -3 не является решением системы.

2. Для $x = 1,5$:

Первое неравенство: $4(1,5) - 7 = 6 - 7 = -1$. Так как $-1 < 0$, неравенство верно.

Второе неравенство: $3(1,5) + 2 = 4,5 + 2 = 6,5$. Так как $6,5 > 5$, неравенство верно.

Так как оба неравенства выполняются, число 1,5 является решением системы.

3. Для $x = 4,8$:

Первое неравенство: $4(4,8) - 7 = 19,2 - 7 = 12,2$. Так как $12,2 < 0$ — это ложь, неравенство неверно.

Число 4,8 не является решением системы (даже нет необходимости проверять второе неравенство).

Ответ: 1,5.

4.3 а) $ \begin{cases} x > 5, \\ x > 7; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x \le 1, \\ x < 5; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} x \ge 0, \\ x > \frac{1}{2}; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} x < 8, \\ x \ge 12. \end{cases} $

а)

Дана система неравенств: $ \begin{cases} x > 5 \\ x > 7 \end{cases} $
Нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно.
Первое неравенство $x > 5$ задает множество всех чисел, больших 5. В виде интервала это записывается как $(5; +\infty)$.
Второе неравенство $x > 7$ задает множество всех чисел, больших 7. В виде интервала это записывается как $(7; +\infty)$.
Решением системы является пересечение этих двух интервалов. Если число больше 7, то оно заведомо больше 5. Следовательно, общее решение — это все числа, которые строго больше 7.
Ответ: $x > 7$.

б)

Дана система неравенств: $ \begin{cases} x \le 1 \\ x < 5 \end{cases} $
Нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно.
Первое неравенство $x \le 1$ задает множество всех чисел, меньших или равных 1. В виде интервала это записывается как $(-\infty; 1]$.
Второе неравенство $x < 5$ задает множество всех чисел, меньших 5. В виде интервала это записывается как $(-\infty; 5)$.
Решением системы является пересечение этих двух интервалов. Если число меньше или равно 1, то оно заведомо меньше 5. Следовательно, общее решение — это все числа, которые меньше или равны 1.
Ответ: $x \le 1$.

в)

Дана система неравенств: $ \begin{cases} x \ge 0 \\ x > \frac{1}{2} \end{cases} $
Нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно.
Первое неравенство $x \ge 0$ задает множество всех чисел, больших или равных 0. В виде интервала это записывается как $[0; +\infty)$.
Второе неравенство $x > \frac{1}{2}$ задает множество всех чисел, больших $\frac{1}{2}$. В виде интервала это записывается как $(\frac{1}{2}; +\infty)$.
Решением системы является пересечение этих двух интервалов. Если число больше $\frac{1}{2}$, то оно заведомо больше 0. Следовательно, общее решение — это все числа, которые строго больше $\frac{1}{2}$.
Ответ: $x > \frac{1}{2}$.

г)

Дана система неравенств: $ \begin{cases} x < 8 \\ x \ge 12 \end{cases} $
Нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно.
Первое неравенство $x < 8$ задает множество всех чисел, меньших 8. В виде интервала это записывается как $(-\infty; 8)$.
Второе неравенство $x \ge 12$ задает множество всех чисел, больших или равных 12. В виде интервала это записывается как $[12; +\infty)$.
Необходимо найти пересечение этих двух интервалов. Не существует такого числа, которое одновременно было бы меньше 8 и при этом больше или равно 12. Множества решений не пересекаются.
Ответ: решений нет ( $x \in \emptyset$ ).

4.4 a) $\begin{cases} x > -3, \\ x < 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x \ge 3, \\ x < -1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x \le 2, \\ x \ge -5; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x < 0, \\ x > 4. \end{cases}$

а) Дана система неравенств: $ \begin{cases} x > -3, \\ x < 1. \end{cases} $
Решением системы является множество значений $x$, которые удовлетворяют каждому неравенству одновременно. Первое неравенство, $x > -3$, означает, что $x$ находится на числовой прямой правее точки $-3$. Это соответствует интервалу $(-3; +\infty)$. Второе неравенство, $x < 1$, означает, что $x$ находится на числовой прямой левее точки $1$. Это соответствует интервалу $(-\infty; 1)$. Для нахождения решения системы необходимо найти пересечение этих двух интервалов: $(-3; +\infty) \cap (-\infty; 1)$. Пересечением является интервал, содержащий все числа, которые одновременно больше $-3$ и меньше $1$. Это можно записать в виде двойного неравенства $-3 < x < 1$.
Ответ: $(-3; 1)$.

б) Дана система неравенств: $ \begin{cases} x \ge 3, \\ x < -1. \end{cases} $
Необходимо найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим неравенствам. Первое неравенство, $x \ge 3$, задает множество чисел, которые больше или равны $3$. Это числовой луч $[3; +\infty)$. Второе неравенство, $x < -1$, задает множество чисел, которые строго меньше $-1$. Это числовой луч $(-\infty; -1)$. Решением системы является пересечение этих двух множеств: $[3; +\infty) \cap (-\infty; -1)$. Не существует числа, которое было бы одновременно больше или равно $3$ и меньше $-1$. Следовательно, пересечение этих множеств пусто.
Ответ: $\emptyset$.

в) Дана система неравенств: $ \begin{cases} x \le 2, \\ x \ge -5. \end{cases} $
Ищем значения $x$, удовлетворяющие обоим условиям. Первое неравенство, $x \le 2$, задает множество чисел, которые меньше или равны $2$. Это числовой луч $(-\infty; 2]$. Второе неравенство, $x \ge -5$, задает множество чисел, которые больше или равны $-5$. Это числовой луч $[-5; +\infty)$. Решением системы будет пересечение этих множеств: $(-\infty; 2] \cap [-5; +\infty)$. Это все числа, которые находятся между $-5$ и $2$ включительно. В виде двойного неравенства это записывается как $-5 \le x \le 2$.
Ответ: $[-5; 2]$.

г) Дана система неравенств: $ \begin{cases} x < 0, \\ x > 4. \end{cases} $
Требуется найти значения $x$, которые одновременно удовлетворяют двум условиям. Первое неравенство, $x < 0$, соответствует интервалу $(-\infty; 0)$. Второе неравенство, $x > 4$, соответствует интервалу $(4; +\infty)$. Решением системы является пересечение этих интервалов: $(-\infty; 0) \cap (4; +\infty)$. На числовой прямой эти два интервала не имеют общих точек. Невозможно, чтобы число было одновременно меньше $0$ и больше $4$. Таким образом, система не имеет решений.
Ответ: $\emptyset$.

4.5 а) $\begin{cases} 7y \le 42, \\ 2y < 4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 18 - 3y \le 0, \\ 4y > 12; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 8y < 48, \\ -3y < 12; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 7x - 14 \ge 0, \\ 2x \ge 8. \end{cases}$

а) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 7y \le 42, \\ 2y < 4. \end{cases} $

Решим первое неравенство: $7y \le 42$. Разделим обе части на 7, знак неравенства сохраняется: $y \le \frac{42}{7}$, что равносильно $y \le 6$.

Решим второе неравенство: $2y < 4$. Разделим обе части на 2, знак неравенства сохраняется: $y < \frac{4}{2}$, что равносильно $y < 2$.

Теперь необходимо найти пересечение решений $y \le 6$ и $y < 2$. Общее решение должно удовлетворять обоим условиям. Если число меньше 2, оно автоматически меньше или равно 6. Следовательно, решением системы является $y < 2$.

Ответ: $(-\infty; 2)$

б) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 18 - 3y \le 0, \\ 4y > 12. \end{cases} $

Решим первое неравенство: $18 - 3y \le 0$. Перенесем 18 в правую часть: $-3y \le -18$. Разделим обе части на -3, при этом знак неравенства меняется на противоположный: $y \ge \frac{-18}{-3}$, что равносильно $y \ge 6$.

Решим второе неравенство: $4y > 12$. Разделим обе части на 4: $y > \frac{12}{4}$, что равносильно $y > 3$.

Найдем пересечение решений $y \ge 6$ и $y > 3$. Общее решение должно удовлетворять обоим условиям. Если число больше или равно 6, оно автоматически больше 3. Следовательно, решением системы является $y \ge 6$.

Ответ: $[6; +\infty)$

в) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 8y < 48, \\ -3y < 12. \end{cases} $

Решим первое неравенство: $8y < 48$. Разделим обе части на 8: $y < \frac{48}{8}$, что равносильно $y < 6$.

Решим второе неравенство: $-3y < 12$. Разделим обе части на -3, при этом знак неравенства меняется на противоположный: $y > \frac{12}{-3}$, что равносильно $y > -4$.

Найдем пересечение решений $y < 6$ и $y > -4$. Общее решение должно удовлетворять обоим условиям, то есть $y$ должен быть одновременно больше -4 и меньше 6. Это можно записать в виде двойного неравенства: $-4 < y < 6$.

Ответ: $(-4; 6)$

г) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 7x - 14 \ge 0, \\ 2x \ge 8. \end{cases} $

Решим первое неравенство: $7x - 14 \ge 0$. Перенесем -14 в правую часть: $7x \ge 14$. Разделим обе части на 7: $x \ge \frac{14}{7}$, что равносильно $x \ge 2$.

Решим второе неравенство: $2x \ge 8$. Разделим обе части на 2: $x \ge \frac{8}{2}$, что равносильно $x \ge 4$.

Найдем пересечение решений $x \ge 2$ и $x \ge 4$. Общее решение должно удовлетворять обоим условиям. Если число больше или равно 4, оно автоматически больше или равно 2. Следовательно, решением системы является $x \ge 4$.

Ответ: $[4; +\infty)$

4.6 а) $ \begin{cases} 7 - 2t \ge 0, \\ 5t - 20 < 0; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 2t - 8 < 0, \\ 2t - 3 \ge 0; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} 2t + 4 \le 0, \\ 4 - 3t > 0; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} 5t - 1 > 0, \\ 3t - 6 \ge 0. \end{cases} $

а)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 7 - 2t \ge 0, \\ 5t - 20 < 0; \end{cases}$

Решим каждое неравенство отдельно.

1) $7 - 2t \ge 0$

$-2t \ge -7$

Разделим обе части на -2 и сменим знак неравенства на противоположный:

$t \le \frac{-7}{-2}$

$t \le 3.5$

2) $5t - 20 < 0$

$5t < 20$

$t < \frac{20}{5}$

$t < 4$

Теперь найдем пересечение решений: $t \le 3.5$ и $t < 4$.

Объединяя оба условия, получаем, что решение системы - это все числа, которые меньше или равны 3.5.

Ответ: $t \in (-\infty, 3.5]$

б)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 2t - 8 < 0, \\ 2t - 3 \ge 0; \end{cases}$

Решим каждое неравенство отдельно.

1) $2t - 8 < 0$

$2t < 8$

$t < 4$

2) $2t - 3 \ge 0$

$2t \ge 3$

$t \ge 1.5$

Найдем пересечение решений: $t < 4$ и $t \ge 1.5$.

Это означает, что $t$ находится в промежутке от 1.5 (включительно) до 4 (не включительно).

Ответ: $t \in [1.5, 4)$

в)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 2t + 4 \le 0, \\ 4 - 3t > 0; \end{cases}$

Решим каждое неравенство отдельно.

1) $2t + 4 \le 0$

$2t \le -4$

$t \le -2$

2) $4 - 3t > 0$

$-3t > -4$

Разделим обе части на -3 и сменим знак неравенства на противоположный:

$t < \frac{-4}{-3}$

$t < \frac{4}{3}$

Найдем пересечение решений: $t \le -2$ и $t < \frac{4}{3}$.

Поскольку любое число, меньшее или равное -2, также меньше $\frac{4}{3}$ (так как $-2 < \frac{4}{3}$), то общим решением является более строгое неравенство.

Ответ: $t \in (-\infty, -2]$

г)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 5t - 1 > 0, \\ 3t - 6 \ge 0. \end{cases}$

Решим каждое неравенство отдельно.

1) $5t - 1 > 0$

$5t > 1$

$t > \frac{1}{5}$

$t > 0.2$

2) $3t - 6 \ge 0$

$3t \ge 6$

$t \ge 2$

Найдем пересечение решений: $t > 0.2$ и $t \ge 2$.

Поскольку любое число, большее или равное 2, также больше 0.2, то общим решением является более строгое неравенство.

Ответ: $t \in [2, \infty)$