Страница 170, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

144 Укажите функцию, которая является чётной.

1) $y = x^3 + \frac{2}{x^2}$;

2) $y = -x^3 + \frac{1}{x}$;

3) $y = x^2 - 2x + 5$;

4) $y = x^4 - 22$.

Для того чтобы определить, какая из предложенных функций является чётной, необходимо проверить выполнение условия чётности для каждой из них. Функция $y = f(x)$ называется чётной, если для любого значения $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. При этом область определения функции должна быть симметрична относительно точки $x=0$.

Рассмотрим каждую функцию по отдельности.

1) $y = x^3 + \frac{2}{x^2}$

Пусть $f(x) = x^3 + \frac{2}{x^2}$. Область определения этой функции: $x \neq 0$, то есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, что является симметричным множеством.

Найдем значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = (-x)^3 + \frac{2}{(-x)^2} = -x^3 + \frac{2}{x^2}$.

Сравним полученное выражение с исходной функцией $f(x) = x^3 + \frac{2}{x^2}$.

Поскольку $f(-x) = -x^3 + \frac{2}{x^2} \neq x^3 + \frac{2}{x^2} = f(x)$, функция не является чётной. Данная функция является функцией общего вида (ни чётной, ни нечётной).

Ответ: не является чётной.

2) $y = -x^3 + \frac{1}{x}$

Пусть $f(x) = -x^3 + \frac{1}{x}$. Область определения: $x \neq 0$, то есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, множество симметричное.

Найдем значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = -(-x)^3 + \frac{1}{(-x)} = -(-x^3) - \frac{1}{x} = x^3 - \frac{1}{x}$.

Сравним $f(-x)$ с $f(x) = -x^3 + \frac{1}{x}$.

Поскольку $f(-x) = x^3 - \frac{1}{x} \neq -x^3 + \frac{1}{x} = f(x)$, функция не является чётной. Однако, если мы сравним $f(-x)$ с $-f(x) = -(-x^3 + \frac{1}{x}) = x^3 - \frac{1}{x}$, то увидим, что $f(-x) = -f(x)$. Следовательно, эта функция является нечётной.

Ответ: не является чётной.

3) $y = x^2 - 2x + 5$

Пусть $f(x) = x^2 - 2x + 5$. Область определения — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, множество симметричное.

Найдем значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = (-x)^2 - 2(-x) + 5 = x^2 + 2x + 5$.

Сравним $f(-x)$ с $f(x) = x^2 - 2x + 5$.

Поскольку $f(-x) = x^2 + 2x + 5 \neq x^2 - 2x + 5 = f(x)$ (равенство выполняется только при $x=0$), функция не является чётной. Эта функция является функцией общего вида.

Ответ: не является чётной.

4) $y = x^4 - 22$

Пусть $f(x) = x^4 - 22$. Область определения — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, множество симметричное.

Найдем значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = (-x)^4 - 22$.

Так как показатель степени 4 является чётным числом, $(-x)^4 = x^4$.

Следовательно, $f(-x) = x^4 - 22$.

Сравним $f(-x)$ с $f(x) = x^4 - 22$.

Поскольку $f(-x) = x^4 - 22 = f(x)$ для всех $x$ из области определения, данная функция является чётной.

Ответ: является чётной.

145 Укажите функцию, которая является нечётной.

1) $y = x^3 + 3x + 1;$

2) $y = x^4 - \frac{1}{x^2};$

3) $y = x^3 + \frac{2}{x};$

4) $y = x^4 + x.$

Функция $y=f(x)$ называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняются два условия:
1. Её область определения $D(f)$ симметрична относительно нуля (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Проверим каждую из предложенных функций на соответствие этому определению.

1) $y = x^3 + 3x + 1$
Обозначим функцию как $f(x) = x^3 + 3x + 1$.
Область определения этой функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, что является симметричным множеством.
Теперь найдем $f(-x)$:
$f(-x) = (-x)^3 + 3(-x) + 1 = -x^3 - 3x + 1$.
Сравним полученное выражение с $-f(x)$:
$-f(x) = -(x^3 + 3x + 1) = -x^3 - 3x - 1$.
Так как $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является нечётной. (Она также не является и чётной, так как $f(-x) \neq f(x)$).
Ответ: данная функция является функцией общего вида (ни чётной, ни нечётной).

2) $y = x^4 - \frac{1}{x^2}$
Обозначим функцию как $f(x) = x^4 - \frac{1}{x^2}$.
Область определения: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x^2 \neq 0 \implies x \neq 0$. Таким образом, $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = (-x)^4 - \frac{1}{(-x)^2} = x^4 - \frac{1}{x^2}$.
Сравнивая $f(-x)$ с $f(x)$, видим, что $f(-x) = f(x)$.
Следовательно, функция является чётной.
Ответ: данная функция является чётной.

3) $y = x^3 + \frac{2}{x}$
Обозначим функцию как $f(x) = x^3 + \frac{2}{x}$.
Область определения: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x \neq 0$. Таким образом, $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = (-x)^3 + \frac{2}{(-x)} = -x^3 - \frac{2}{x}$.
Теперь найдем $-f(x)$:
$-f(x) = -(x^3 + \frac{2}{x}) = -x^3 - \frac{2}{x}$.
Сравнивая $f(-x)$ с $-f(x)$, видим, что $f(-x) = -f(x)$.
Следовательно, функция является нечётной.
Ответ: данная функция является нечётной.

4) $y = x^4 + x$
Обозначим функцию как $f(x) = x^4 + x$.
Область определения — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, что является симметричным множеством.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = (-x)^4 + (-x) = x^4 - x$.
Сравним $f(-x)$ с $-f(x)$:
$-f(x) = -(x^4 + x) = -x^4 - x$.
Так как $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является нечётной. (Она также не является и чётной, так как $f(-x) \neq f(x)$).
Ответ: данная функция является функцией общего вида (ни чётной, ни нечётной).

146 Укажите функцию, графиком которой является кубическая парабола.

1) $y = \sqrt[3]{x}$;

2) $y = x^2 - 3$;

3) $y = x^3$;

4) $y = \frac{1}{x^3}$.

Кубическая парабола — это график, который описывается кубической функцией. Кубической называется функция, в которой независимая переменная $x$ возводится в третью степень как в наивысшую. Общий вид такой функции: $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$, где коэффициент $a$ не равен нулю ($a \neq 0$). Простейшим примером такой функции является $y = x^3$.

Рассмотрим каждый из предложенных вариантов, чтобы найти тот, который соответствует этому определению:

1) $y = \sqrt[3]{x}$
Эту функцию можно записать в виде степенной функции $y = x^{1/3}$. Здесь переменная находится в степени $1/3$, а не 3. Это функция кубического корня, ее график не является кубической параболой.

2) $y = x^2 - 3$
В этой функции наивысшая степень переменной $x$ равна 2. Это квадратичная функция, графиком которой является обычная (квадратичная) парабола, а не кубическая.

3) $y = x^3$
В этой функции переменная $x$ возведена в третью степень. Это является частным случаем кубической функции (при $a=1, b=c=d=0$). График именно этой функции и есть кубическая парабола.

4) $y = \frac{1}{x^3}$
Эту функцию можно записать как $y = x^{-3}$. Степень переменной $x$ отрицательна. Это дробно-рациональная функция, ее график не является параболой.

Таким образом, единственная функция из предложенных, график которой является кубической параболой, это $y=x^3$.

Ответ: 3

147 Задайте аналитически кубическую параболу, график которой изображён на рис. 92.

1) $y = x^3$;

2) $y = x^3 + 2$;

3) $y = (x - 2)^3$;

4) $y = (x + 1)^3 - 2$.

Рис. 92

Для того чтобы определить, какая из предложенных формул задает кубическую параболу на графике, найдем характеристики изображенной функции, сравнив ее с базовой функцией $y = x^3$.

График базовой кубической параболы $y = x^3$ симметричен относительно начала координат, и его точка перегиба находится в точке $(0, 0)$.

График на рисунке 92 получен путем сдвига (параллельного переноса) графика функции $y = x^3$. Найдем на графике новую точку перегиба. Это точка, в которой кривая меняет свою вогнутость на выпуклость. По рисунку видно, что координаты этой точки — $(-1, -2)$.

Сдвиг точки перегиба из $(0, 0)$ в $(-1, -2)$ означает, что график был смещен на 1 единицу влево по оси абсцисс ($Ox$) и на 2 единицы вниз по оси ординат ($Oy$).

Общее уравнение для такого преобразования имеет вид $y = (x - h)^3 + k$, где $h$ — величина сдвига по горизонтали, а $k$ — по вертикали. В нашем случае $h = -1$ и $k = -2$.

Подставив эти значения, получаем уравнение графика: $y = (x - (-1))^3 + (-2)$ $y = (x + 1)^3 - 2$

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов ответа.

1) $y = x^3$

Эта функция имеет точку перегиба в начале координат $(0, 0)$, что не соответствует графику на рисунке.

2) $y = x^3 + 2$

Эта функция является результатом сдвига графика $y = x^3$ на 2 единицы вверх. Ее точка перегиба находится в $(0, 2)$, что не соответствует графику.

3) $y = (x - 2)^3$

Эта функция является результатом сдвига графика $y = x^3$ на 2 единицы вправо. Ее точка перегиба находится в $(2, 0)$, что не соответствует графику.

4) $y = (x + 1)^3 - 2$

Эта функция является результатом сдвига графика $y = x^3$ на 1 единицу влево и на 2 единицы вниз. Ее точка перегиба — $(-1, -2)$, что полностью совпадает с положением точки перегиба на графике. Для дополнительной проверки можно взять любую другую точку с графика, например, $(0, -1)$. Подставим ее координаты в уравнение: $y(0) = (0+1)^3 - 2 = 1^3 - 2 = 1 - 2 = -1$. Точка $(0, -1)$ принадлежит графику функции. Следовательно, это правильный вариант.

Ответ: 4) $y = (x + 1)^3 - 2$.

148 Установите, какому координатному углу принадлежит точка пересечения прямых.

$3x - y = 6$ и $2x + y = 8$.

1) I;

2) II;

3) III;

4) IV.

Чтобы установить, какому координатному углу принадлежит точка пересечения прямых, нужно найти координаты этой точки. Для этого решим систему уравнений, задающих данные прямые:

$ \begin{cases} 3x - y = 6 \\ 2x + y = 8 \end{cases} $

Для решения этой системы удобно применить метод алгебраического сложения, поскольку коэффициенты при переменной $y$ являются противоположными числами ($-1$ и $1$). Сложим левые и правые части уравнений:

$(3x - y) + (2x + y) = 6 + 8$

Приведем подобные слагаемые:

$5x = 14$

Отсюда находим координату $x$:

$x = \frac{14}{5} = 2.8$

Теперь подставим найденное значение $x$ в любое из двух исходных уравнений, чтобы найти координату $y$. Используем второе уравнение $2x + y = 8$:

$2 \cdot (2.8) + y = 8$

$5.6 + y = 8$

$y = 8 - 5.6$

$y = 2.4$

Таким образом, точка пересечения двух прямых имеет координаты $(2.8; 2.4)$.

Далее определим, какому координатному углу (квадранту) принадлежит эта точка. Знаки координат в квадрантах распределяются следующим образом:

I координатный угол: $x > 0, y > 0$
II координатный угол: $x < 0, y > 0$
III координатный угол: $x < 0, y < 0$
IV координатный угол: $x > 0, y < 0$

В нашем случае обе координаты точки пересечения положительны ($x = 2.8 > 0$ и $y = 2.4 > 0$). Следовательно, точка принадлежит I координатному углу.

Ответ: 1) I.