Страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

115 Функция задана формулой $y = \frac{k}{x}$. Определите значение коэффициента $k$, если известно, что график функции проходит через точку $(-0,3; -2,1)$.

1) 6,3;

2) 7;

3) 0,63;

4) $\frac{1}{7}$.

Функция задана формулой $y = \frac{k}{x}$. По условию, график функции проходит через точку с координатами $(-0,3; -2,1)$. Это означает, что если подставить значения координат этой точки в формулу функции, то получится верное равенство.

Подставим $x = -0,3$ и $y = -2,1$ в уравнение функции:
$-2,1 = \frac{k}{-0,3}$

Чтобы найти значение коэффициента $k$, выразим его из этого уравнения. Для этого умножим обе части равенства на $-0,3$:
$k = -2,1 \cdot (-0,3)$

Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом, поэтому:
$k = 2,1 \cdot 0,3$

Выполним умножение:
$k = 0,63$

Таким образом, значение коэффициента $k$ равно 0,63. Этот вариант соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 0,63

116 Функция задана формулой $y = \frac{k}{x+4}$. Определите значение коэффициента $k$, если известно, что график функции проходит через точку $(-8; 2,4)$.

1) -9,6;

2) -0,6;

3) 28,8;

4) -15,2.

Функция задана формулой $y = \frac{k}{x + 4}$.

По условию задачи, график функции проходит через точку с координатами $(-8; 2,4)$. Это означает, что при подстановке значений $x = -8$ и $y = 2,4$ в уравнение функции, мы получим верное равенство. Это позволяет нам найти значение коэффициента $k$.

Подставим координаты точки в формулу:

$2,4 = \frac{k}{-8 + 4}$

Упростим знаменатель в правой части уравнения:

$-8 + 4 = -4$

Теперь уравнение выглядит так:

$2,4 = \frac{k}{-4}$

Чтобы найти $k$, выразим его из этого уравнения. Для этого умножим обе части уравнения на $-4$:

$k = 2,4 \cdot (-4)$

Выполним умножение:

$k = -9,6$

Полученное значение $k = -9,6$ соответствует варианту ответа 1).

Ответ: -9,6

117 Определите точки, принадлежащие графику функции $y = -\frac{150}{x}$, если

$A\left(\frac{5}{7}; -175\right)$, $B\left(-15\sqrt{2}; 5\sqrt{2}\right)$, $C\left(10\sqrt{5}; 3\sqrt{5}\right)$, $D\left(-1\frac{7}{8}; 80\right)$.

1) A, B;

2) A, C;

3) B, D;

4) C, D.

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить её координаты $(x; y)$ в уравнение функции $y = -\frac{150}{x}$. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит.

A($\frac{5}{7}; -175$)

Подставляем $x = \frac{5}{7}$ и $y = -175$ в уравнение функции:

$-175 = -\frac{150}{\frac{5}{7}}$

$-175 = -150 \cdot \frac{7}{5}$

$-175 = -30 \cdot 7$

$-175 = -210$

Равенство неверное, следовательно, точка A не принадлежит графику функции.

B($-15\sqrt{2}; 5\sqrt{2}$)

Подставляем $x = -15\sqrt{2}$ и $y = 5\sqrt{2}$ в уравнение функции:

$5\sqrt{2} = -\frac{150}{-15\sqrt{2}}$

$5\sqrt{2} = \frac{150}{15\sqrt{2}}$

$5\sqrt{2} = \frac{10}{\sqrt{2}}$

Упростим правую часть, избавившись от иррациональности в знаменателе:

$5\sqrt{2} = \frac{10 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{2}$

$5\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$

Равенство верное, следовательно, точка B принадлежит графику функции.

C($10\sqrt{5}; 3\sqrt{5}$)

Подставляем $x = 10\sqrt{5}$ и $y = 3\sqrt{5}$ в уравнение функции:

$3\sqrt{5} = -\frac{150}{10\sqrt{5}}$

$3\sqrt{5} = -\frac{15}{\sqrt{5}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$3\sqrt{5} = -\frac{15 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = -\frac{15\sqrt{5}}{5}$

$3\sqrt{5} = -3\sqrt{5}$

Равенство неверное, следовательно, точка C не принадлежит графику функции.

D($-1\frac{7}{8}; 80$)

Преобразуем абсциссу точки в неправильную дробь: $x = -1\frac{7}{8} = -\frac{1 \cdot 8 + 7}{8} = -\frac{15}{8}$.

Подставляем $x = -\frac{15}{8}$ и $y = 80$ в уравнение функции:

$80 = -\frac{150}{-\frac{15}{8}}$

$80 = \frac{150}{\frac{15}{8}}$

$80 = 150 \cdot \frac{8}{15}$

$80 = 10 \cdot 8$

$80 = 80$

Равенство верное, следовательно, точка D принадлежит графику функции.

Таким образом, графику функции принадлежат точки B и D. Среди предложенных вариантов это соответствует ответу 3).

Ответ: 3) B, D.

118 Определите точки, принадлежащие графику функции $y=\frac{324}{x - 30}$, если

A(−6; −9), B(6; 13,5), C(18; −27), D(29,5; −648).

1) A, B, C;

2) A, C, D;

3) B, C, D;

4) A, B, D.

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить ее координаты ($x$ и $y$) в уравнение функции $y = \frac{324}{x - 30}$. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику. Проверим каждую точку.

A(–6; –9)
Подставляем в уравнение функции $x = -6$ и проверяем, получится ли $y = -9$.
$y = \frac{324}{-6 - 30} = \frac{324}{-36}$
Выполняем деление: $324 \div (-36) = -9$.
Полученное значение $y$ совпадает с ординатой точки A ($-9 = -9$).
Ответ: точка A принадлежит графику.

B(6; 13,5)
Подставляем в уравнение функции $x = 6$ и проверяем, получится ли $y = 13,5$.
$y = \frac{324}{6 - 30} = \frac{324}{-24}$
Выполняем деление: $324 \div (-24) = -13,5$.
Полученное значение $y$ не совпадает с ординатой точки B ($-13,5 \neq 13,5$).
Ответ: точка B не принадлежит графику.

C(18; –27)
Подставляем в уравнение функции $x = 18$ и проверяем, получится ли $y = -27$.
$y = \frac{324}{18 - 30} = \frac{324}{-12}$
Выполняем деление: $324 \div (-12) = -27$.
Полученное значение $y$ совпадает с ординатой точки C ($-27 = -27$).
Ответ: точка C принадлежит графику.

D(29,5; –648)
Подставляем в уравнение функции $x = 29,5$ и проверяем, получится ли $y = -648$.
$y = \frac{324}{29,5 - 30} = \frac{324}{-0,5}$
Деление на $-0,5$ равносильно умножению на $-2$: $324 \times (-2) = -648$.
Полученное значение $y$ совпадает с ординатой точки D ($-648 = -648$).
Ответ: точка D принадлежит графику.

Таким образом, графику функции принадлежат точки A, C и D. Это соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: 2

119 Найдите область определения функции $y = \frac{5}{x - 4}$.

1) $(-\infty; 4);

2) $(-\infty; 4) \cup (4; +\infty);

3) $(-\infty; +\infty);

4) $(4; +\infty).

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл (определена).

Данная функция $y = \frac{5}{x - 4}$ представляет собой дробь. Основное ограничение для дробей в области действительных чисел заключается в том, что знаменатель не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

Поэтому, чтобы найти область определения, нужно найти все значения $x$, при которых знаменатель $x - 4$ не равен нулю.

Составим и решим уравнение, чтобы найти значение $x$, которое нужно исключить:
$x - 4 = 0$
$x = 4$

Следовательно, функция не определена в точке $x = 4$. Это означает, что $x$ может быть любым действительным числом, кроме 4.

Область определения функции — это все действительные числа, кроме 4. В виде интервала это записывается как объединение двух интервалов: от минус бесконечности до 4 (не включая 4) и от 4 до плюс бесконечности (не включая 4).

Математическая запись: $D(y) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту под номером 2.

Ответ: 2) $(-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$

120 Найдите область определения функции $y = \frac{2}{x + 3} + 1$.

1) $(- \infty; -3) \cup (-3; + \infty)$;

2) $(-3; + \infty)$;

3) $(- \infty; + \infty)$;

4) $(- \infty; 1) \cup (1; + \infty)$.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл.

В данной функции $y = \frac{2}{x + 3} + 1$ присутствует дробь. Основное ограничение для дробей заключается в том, что знаменатель не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти значение $x$, которое необходимо исключить из области определения:

$x + 3 = 0$

$x = -3$

Таким образом, функция не определена при $x = -3$. Это означает, что $x$ может принимать любые действительные значения, кроме $-3$.

Множество всех действительных чисел, кроме $-3$, можно записать в виде объединения двух интервалов: $(-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.

Среди предложенных вариантов этот ответ находится под номером 1.

Ответ: 1) $(-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$

121 Укажите множество значений функции $y = \frac{1}{x} + 2$.

1) $(-\infty; +\infty);$

2) $(-\infty; 2) \cup (2; +\infty);$

3) $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty);$

4) $(2; +\infty).$

Чтобы найти множество значений функции $y = \frac{1}{x} + 2$, можно использовать два подхода.

Способ 1: Анализ преобразований графика функции

1. Рассмотрим базовую функцию $y_1 = \frac{1}{x}$. Это стандартная гипербола. Область определения этой функции — все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $D(y_1) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Множество значений базовой функции $y_1 = \frac{1}{x}$ — это все действительные числа, кроме $y_1=0$. Это связано с тем, что дробь $\frac{1}{x}$ никогда не может быть равна нулю, так как ее числитель равен 1. Таким образом, множество значений $E(y_1) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3. Исходная функция $y = \frac{1}{x} + 2$ получается из базовой функции $y_1 = \frac{1}{x}$ путем прибавления константы 2. Это соответствует сдвигу графика функции $y_1 = \frac{1}{x}$ на 2 единицы вверх вдоль оси ординат (оси OY).

4. При таком сдвиге каждая точка на графике, и, следовательно, каждое значение функции, увеличивается на 2. Горизонтальная асимптота графика смещается с $y=0$ на $y=2$.

5. Таким образом, новое множество значений получается путем прибавления 2 к каждому значению из множества $E(y_1)$.
Интервал $(-\infty; 0)$ превращается в $(-\infty; 0+2)$, то есть $(-\infty; 2)$.
Интервал $(0; +\infty)$ превращается в $(0+2; +\infty)$, то есть $(2; +\infty)$.

6. Объединяя эти два интервала, получаем множество значений для функции $y = \frac{1}{x} + 2$: $E(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

Способ 2: Алгебраический метод

1. Множество значений функции — это все возможные значения, которые может принимать $y$. Попробуем выразить $x$ через $y$ из уравнения функции $y = \frac{1}{x} + 2$.

2. Вычтем 2 из обеих частей уравнения:
$y - 2 = \frac{1}{x}$

3. Теперь, чтобы найти $x$, возьмем обратные величины от обеих частей уравнения. Это можно сделать при условии, что $y-2 \neq 0$.
$x = \frac{1}{y-2}$

4. Полученное выражение для $x$ имеет смысл для любых значений $y$, кроме тех, которые обращают знаменатель в ноль. Знаменатель равен нулю, когда $y-2=0$, то есть при $y=2$.

5. Следовательно, переменная $y$ может принимать любые действительные значения, кроме 2. Это и есть множество значений исходной функции.

6. В виде интервала это записывается как $(-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он совпадает с вариантом 2.

Ответ: 2) $(-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$

122 Укажите множество значений функции $y = \frac{3}{x + 2}$.

1) $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty);$

2) $(-\infty; +\infty);$

3) $(-\infty; -2) \cup (-2; +\infty);$

4) $(1,5; +\infty).$

Для нахождения множества значений функции $y = \frac{3}{x+2}$ необходимо определить все возможные значения, которые может принимать $y$. Это можно сделать несколькими способами.

Способ 1: Аналитический (выражение $x$ через $y$)

Выразим переменную $x$ из уравнения функции $y = \frac{3}{x+2}$. Это позволит нам увидеть, какие ограничения накладываются на переменную $y$.

1. Начнем с исходного уравнения: $y = \frac{3}{x+2}$

2. Умножим обе части уравнения на знаменатель $(x+2)$, при условии, что $x+2 \neq 0$ (это область определения функции).

   $y(x+2) = 3$

3. Раскроем скобки в левой части:

   $yx + 2y = 3$

4. Изолируем слагаемое с $x$:

   $yx = 3 - 2y$

5. Чтобы выразить $x$, разделим обе части на $y$:

   $x = \frac{3 - 2y}{y}$

В полученном выражении для $x$ переменная $y$ находится в знаменателе. Дробь имеет смысл только тогда, когда ее знаменатель не равен нулю. Следовательно, должно выполняться условие $y \neq 0$.

Это означает, что переменная $y$ может принимать любое действительное значение, кроме 0. Множество таких значений записывается в виде объединения двух интервалов: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Способ 2: Графический (анализ асимптот)

Функция $y = \frac{3}{x+2}$ представляет собой гиперболу. Ее график — это график функции $y = \frac{1}{x}$, растянутый в 3 раза вдоль оси Oy и смещенный на 2 единицы влево вдоль оси Ox.

• Вертикальная асимптота. Она существует там, где знаменатель обращается в ноль: $x+2=0$, то есть $x=-2$.

• Горизонтальная асимптота. Она определяется пределом функции при $x \to \pm\infty$:

  $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{3}{x+2} = 0$

  Это означает, что при $x$, стремящемся к плюс или минус бесконечности, значение функции $y$ стремится к 0, но никогда его не достигает. Таким образом, прямая $y=0$ является горизонтальной асимптотой.

Поскольку ветви гиперболы уходят на бесконечность вверх и вниз (приближаясь к вертикальной асимптоте), а сама функция никогда не пересекает горизонтальную асимптоту $y=0$, множество ее значений — это все действительные числа, кроме нуля.

Сравнивая наш результат с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с вариантом 1.

Ответ: 1) $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$