Страница 159, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

101 Укажите, какому промежутку принадлежат нули функции

$y = -4x^2 + 13x + 12.$

1) $(-\infty; -\frac{1}{2});$

2) $(-\frac{1}{2}; \frac{1}{4});$

3) $(\frac{13}{4}; +\infty);$

4) $[-\frac{7}{8}; \frac{17}{4}].$

Для того чтобы найти нули функции $y = -4x^2 + 13x + 12$, необходимо найти значения $x$, при которых $y=0$. Для этого решим соответствующее квадратное уравнение:

$-4x^2 + 13x + 12 = 0$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы сделать старший коэффициент положительным:

$4x^2 - 13x - 12 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a=4$, $b=-13$, $c=-12$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-12) = 169 + 192 = 361$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{361} = 19$.

Корни уравнения (нули функции) находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-13) + 19}{2 \cdot 4} = \frac{13 + 19}{8} = \frac{32}{8} = 4$

$x_2 = \frac{-(-13) - 19}{2 \cdot 4} = \frac{13 - 19}{8} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$

Таким образом, нули функции равны $4$ и $-\frac{3}{4}$.

Теперь определим, какому из предложенных промежутков принадлежат оба этих нуля. В вопросе используется множественное число "нули", поэтому ищем промежуток, содержащий оба корня.

1) $(-\infty; -\frac{1}{2})$

В десятичной форме это промежуток $(-\infty; -0.5)$. Нуль функции $x_2 = -\frac{3}{4} = -0.75$ принадлежит этому промежутку, но нуль $x_1 = 4$ ему не принадлежит. Значит, этот вариант не является верным.

2) $(-\frac{1}{2}; \frac{1}{4})$

В десятичной форме это промежуток $(-0.5; 0.25)$. Ни один из нулей функции, ни $4$, ни $-\frac{3}{4}$, не входит в данный промежуток. Значит, этот вариант не является верным.

3) $(\frac{13}{4}; +\infty)$

В десятичной форме это промежуток $(3.25; +\infty)$. Нуль функции $x_1 = 4$ принадлежит этому промежутку, но нуль $x_2 = -\frac{3}{4}$ ему не принадлежит. Значит, этот вариант не является верным.

4) $[-\frac{7}{8}; \frac{17}{4}]$

Переведем границы промежутка в десятичную форму: $-\frac{7}{8} = -0.875$ и $\frac{17}{4} = 4.25$. Промежуток имеет вид $[-0.875; 4.25]$.
Проверим принадлежность нулей этому промежутку:
Для $x_2 = -\frac{3}{4} = -0.75$: выполняется неравенство $-0.875 \le -0.75 \le 4.25$.
Для $x_1 = 4$: выполняется неравенство $-0.875 \le 4 \le 4.25$.
Оба нуля функции принадлежат данному промежутку. Следовательно, это правильный вариант.

Ответ: 4

102 При каких значениях $x$ функция $y = x^2 - 7x - 8$ принимает неотрицательные значения?

1) $[8; +\infty)$;

2) $[-1; 8];

3) $(-\infty; -1] \cup [8; +\infty)$;

4) $(-\infty; -1) \cup (8; +\infty).

Задача состоит в том, чтобы найти все значения x, при которых функция y = x² - 7x - 8 принимает неотрицательные значения. Это означает, что нам нужно решить неравенство y ≥ 0.

Подставим выражение для функции в неравенство:

x² - 7x - 8 ≥ 0

Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения x² - 7x - 8 = 0. Мы можем сделать это с помощью дискриминанта или теоремы Виета.

1. Нахождение корней через дискриминант:

Формула дискриминанта: D = b² - 4ac. В нашем случае коэффициенты a = 1, b = -7, c = -8.

D = (-7)² - 4 ⋅ 1 ⋅ (-8) = 49 + 32 = 81

Поскольку D > 0, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле:

x = \frac{-b ± \sqrt{D}}{2a}

x₁ = \frac{-(-7) - \sqrt{81}}{2 ⋅ 1} = \frac{7 - 9}{2} = \frac{-2}{2} = -1

x₂ = \frac{-(-7) + \sqrt{81}}{2 ⋅ 1} = \frac{7 + 9}{2} = \frac{16}{2} = 8

Корни уравнения: x₁ = -1 и x₂ = 8.

2. Решение неравенства методом интервалов:

Графиком функции y = x² - 7x - 8 является парабола. Так как коэффициент при x² (a = 1) положителен, ветви параболы направлены вверх. Парабола пересекает ось Ox в точках x = -1 и x = 8.

Нас интересуют значения x, при которых y ≥ 0, то есть где график функции находится на оси абсцисс или выше неё. Для параболы с ветвями вверх это происходит на промежутках слева от меньшего корня и справа от большего корня, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства можно записать как x ≤ -1 или x ≥ 8.

В виде объединения промежутков решение выглядит так: (-∞; -1] ∪ [8; +∞).

Сравнивая наш результат с предложенными вариантами:

1) [8; +∞) – неполное решение.

2) [-1; 8] – решение для неравенства x² - 7x - 8 ≤ 0.

3) (-∞; -1] ∪ [8; +∞) – соответствует нашему решению.

4) (-∞; -1) ∪ (8; +∞) – решение для строгого неравенства x² - 7x - 8 > 0.

Правильный вариант ответа — 3.

Ответ: 3) (-∞; -1] ∪ [8; +∞).

103 При каких значениях x функция $y = -x^2 + 8x + 20$ принимает неположительные значения?

1) $(-\infty; -2] \cup [10; +\infty);$

2) $[-2; 10];$

3) $(-\infty; -2];$

4) $(-\infty; -10] \cup [2; +\infty).$

Задача состоит в том, чтобы найти все значения $x$, для которых функция $y = -x^2 + 8x + 20$ принимает неположительные значения. "Неположительные значения" означает, что $y \le 0$. Таким образом, нам нужно решить неравенство:
$-x^2 + 8x + 20 \le 0$

Для решения этого квадратного неравенства методом интервалов, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:
$-x^2 + 8x + 20 = 0$

Для удобства умножим уравнение на $-1$:
$x^2 - 8x - 20 = 0$

Найдем корни уравнения с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
Здесь $a=1$, $b=-8$, $c=-20$.
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12$.

Корни уравнения вычисляются по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-8) - 12}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 12}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.
$x_2 = \frac{-(-8) + 12}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 12}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

Корни $x=-2$ и $x=10$ являются точками, в которых парабола $y = -x^2 + 8x + 20$ пересекает ось $x$. Коэффициент при $x^2$ в исходной функции отрицателен ($a = -1$), что означает, что ветви параболы направлены вниз.

Парабола с ветвями вниз принимает неположительные значения ($y \le 0$) на участках левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни. Следовательно, решением неравенства является объединение промежутков:
$x \in (-\infty; -2] \cup [10; +\infty)$.

Данное решение соответствует варианту ответа под номером 1.

Ответ: $(-\infty; -2] \cup [10; +\infty)$.

104 При каких значениях $x$ функция $y = x^2 + 8x + 16$ принимает положительные значения?

1) $(-\infty; +\infty)$;

2) таких значений $x$ нет;

3) $(-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$;

4) $[0; +\infty)$.

Для того чтобы определить, при каких значениях $x$ функция $y = x^2 + 8x + 16$ принимает положительные значения, необходимо решить неравенство $y > 0$.

Подставим выражение для $y$ в неравенство:

$x^2 + 8x + 16 > 0$

Решить это неравенство можно несколькими способами.

Способ 1: Разложение на множители

Заметим, что выражение в левой части неравенства является полным квадратом. Оно соответствует формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем случае $a = x$ и $b = 4$. Проверим:

• $a^2 = x^2$
• $2ab = 2 \cdot x \cdot 4 = 8x$
• $b^2 = 4^2 = 16$

Следовательно, мы можем свернуть выражение:

$x^2 + 8x + 16 = (x+4)^2$

Теперь неравенство принимает вид:

$(x+4)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x+4)^2 \ge 0$. Нам нужно найти, когда это выражение строго больше нуля. Равенство нулю достигается только в одном случае:

$x+4 = 0 \implies x = -4$

При $x = -4$ значение функции равно $y = (-4+4)^2 = 0$, что не является положительным значением. Для всех остальных значений $x$ (т.е. при $x \neq -4$) квадрат $(x+4)^2$ будет строго положительным.

Таким образом, решение неравенства — это все действительные числа, кроме $-4$.

Способ 2: Анализ квадратичной функции

Рассмотрим функцию $y = x^2 + 8x + 16$. Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс (Ox), решив уравнение $x^2 + 8x + 16 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 64 - 64 = 0$

Поскольку дискриминант равен нулю, парабола имеет только одну точку пересечения с осью Ox, которая является вершиной параболы. Координата $x$ этой точки:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot 1} = -4$

Это означает, что парабола касается оси Ox в точке $x = -4$ (где $y=0$) и расположена полностью выше оси Ox для всех остальных значений $x$. Следовательно, функция принимает положительные значения при всех $x$, кроме $x=-4$.

Оба способа приводят к одному и тому же выводу: функция положительна при $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.

Сравнивая с предложенными вариантами, мы видим, что это соответствует варианту 3.

Ответ: 3) $(-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$

105 При каких значениях $x$ функция $y = x^2 - 18x + 81$ принимает неположительные значения?

1) $(-\infty; +\infty)$;

2) таких значений $x$ нет;

3) $9$;

4) $(-\infty; 9) \cup (9; +\infty)$.

Для того чтобы найти, при каких значениях $x$ функция $y = x^2 - 18x + 81$ принимает неположительные значения, необходимо решить неравенство $y \le 0$.

Составим и решим соответствующее неравенство: $x^2 - 18x + 81 \le 0$

Левая часть неравенства представляет собой квадратный трехчлен. Заметим, что его можно свернуть по формуле квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a=x$ и $b=9$, так как $x^2 - 2 \cdot x \cdot 9 + 9^2 = (x-9)^2$.

Таким образом, неравенство можно переписать в виде: $(x-9)^2 \le 0$

Выражение в левой части, $(x-9)^2$, представляет собой квадрат действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x-9)^2 \ge 0$ при любых значениях $x$.

Следовательно, неравенство $(x-9)^2 \le 0$ выполняется только в том случае, когда левая часть равна нулю, так как она не может быть строго меньше нуля. $(x-9)^2 = 0$

Решая это уравнение, получаем: $x - 9 = 0$ $x = 9$

Итак, функция принимает неположительное (а именно, равное нулю) значение только при $x=9$.

Ответ: 9

106 При каких значениях $x$ функция $y = x^2 + 3x + 10$ принимает неотрицательные значения?

1) $(-\infty; +\infty)$;

2) таких значений $x$ нет;

3) $[-5; -2]$;

4) $(-\infty; -5] \cup [-2; +\infty)$.

Для того чтобы найти значения $x$, при которых функция $y = x^2 + 3x + 10$ принимает неотрицательные значения, нужно решить неравенство $y \ge 0$.

Подставим выражение для $y$ в неравенство:

$x^2 + 3x + 10 \ge 0$

Это квадратичное неравенство. Чтобы его решить, рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $f(x) = x^2 + 3x + 10$. Её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1, он положительный, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Теперь найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс (Ox), для чего решим квадратное уравнение $x^2 + 3x + 10 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=3$ и $c=10$.

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 9 - 40 = -31$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что график функции (парабола) не пересекает ось Ox.

Так как ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось Ox, вся парабола расположена выше этой оси. Это означает, что значение функции $y = x^2 + 3x + 10$ является положительным при любом значении $x$.

Следовательно, неравенство $x^2 + 3x + 10 \ge 0$ верно для всех действительных значений $x$. В виде интервала это записывается как $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: 1) $(-\infty; +\infty)$.

107 При каких значениях $x$ функция $y = -x^2 + 6x - 16$ принимает положительные значения?

1) $(-\infty; +\infty)$;

2) таких значений $x$ нет;

3) $(0,5; 5,5)$;

4) $(-\infty; 0,5) \cup (5,5; +\infty)$.

Чтобы найти, при каких значениях $x$ функция $y = -x^2 + 6x - 16$ принимает положительные значения, необходимо решить неравенство:

$-x^2 + 6x - 16 > 0$

Рассмотрим функцию $y = -x^2 + 6x - 16$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-1$, что меньше нуля ($a = -1 < 0$), следовательно, ветви параболы направлены вниз.

Чтобы определить, пересекает ли парабола ось абсцисс (ось $Ox$) и в каких точках, найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

$-x^2 + 6x - 16 = 0$

Умножим обе части уравнения на $-1$ для удобства:

$x^2 - 6x + 16 = 0$

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=-6$, $c=16$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 36 - 64 = -28$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось $Ox$.

Так как ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось $Ox$, вся парабола целиком находится ниже оси $Ox$. Это значит, что значения функции $y = -x^2 + 6x - 16$ всегда отрицательны при любых значениях $x$.

Также можно найти вершину параболы, чтобы определить ее максимальное значение. Координата вершины $x_0$ находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3$

Теперь найдем значение функции в этой точке, $y_0$:

$y_0 = -(3)^2 + 6 \cdot 3 - 16 = -9 + 18 - 16 = 9 - 16 = -7$

Вершина параболы находится в точке $(3; -7)$. Так как ветви параболы направлены вниз, то $y_0 = -7$ является максимальным значением функции. Поскольку максимальное значение функции отрицательно, она не может принимать положительных значений.

Следовательно, неравенство $-x^2 + 6x - 16 > 0$ не имеет решений.

Среди предложенных вариантов ответа этому выводу соответствует вариант 2.

Ответ: 2) таких значений x нет.

108 Установите соответствие между знаками коэффициентов a, c и графическим изображением функции $y = ax^2 + bx + c$ (рис. 75).

1) $a > 0, c > 0$;

2) $a > 0, c < 0$;

3) $a < 0, c < 0$;

4) $a < 0, c > 0$.

A

Б

В

Рис. 75

Для того чтобы установить соответствие, проанализируем, как знаки коэффициентов $a$ и $c$ в уравнении квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ влияют на вид ее графика, который является параболой.

Знак старшего коэффициента $a$ определяет направление ветвей параболы. Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Свободный член $c$ равен значению функции при $x=0$, то есть $y(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c$. Геометрически это означает, что $c$ — это ордината точки пересечения графика функции с осью $y$. Если $c > 0$, парабола пересекает ось $y$ выше оси $x$. Если $c < 0$, парабола пересекает ось $y$ ниже оси $x$.

Проанализируем каждый график на основе этих правил.

А

На графике А изображена парабола, ветви которой направлены вверх. Это означает, что коэффициент $a$ положителен: $a > 0$.
График пересекает ось ординат ($y$) в точке, расположенной ниже оси абсцисс ($x$). Следовательно, коэффициент $c$ отрицателен: $c < 0$.
Таким образом, для графика А верны неравенства $a > 0$ и $c < 0$. Этим условиям соответствует вариант 2).

Ответ: 2

Б

На графике Б изображена парабола, ветви которой направлены вниз. Это означает, что коэффициент $a$ отрицателен: $a < 0$.
График пересекает ось ординат ($y$) в точке, расположенной выше оси абсцисс ($x$). Следовательно, коэффициент $c$ положителен: $c > 0$.
Таким образом, для графика Б верны неравенства $a < 0$ и $c > 0$. Этим условиям соответствует вариант 4).

Ответ: 4

В

На графике В изображена парабола, ветви которой направлены вверх. Это означает, что коэффициент $a$ положителен: $a > 0$.
График пересекает ось ординат ($y$) в точке, расположенной выше оси абсцисс ($x$). Следовательно, коэффициент $c$ положителен: $c > 0$.
Таким образом, для графика В верны неравенства $a > 0$ и $c > 0$. Этим условиям соответствует вариант 1).

Ответ: 1