Страница 157, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

92 Используя рис. 72 (1–4), укажите график функции $y = -x^2 + 6x - 7$.

1) 2) 3) 4) Рис. 72

Для того чтобы определить, какой из графиков на рисунках 1-4 соответствует функции $y = -x^2 + 6x - 7$, необходимо проанализировать ключевые свойства данной квадратичной функции и сопоставить их с графиками.

1. Направление ветвей параболы

Уравнение параболы имеет вид $y = ax^2 + bx + c$. В нашем случае $a = -1$, $b = 6$, $c = -7$. Поскольку коэффициент $a = -1$ является отрицательным ($a < 0$), ветви параболы направлены вниз. Этому условию соответствуют графики 1, 3 и 4. График 2 не подходит, так как его ветви направлены вверх.

2. Координаты вершины параболы

Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ можно найти по формулам:

$x_v = -\frac{b}{2a}$

$y_v = y(x_v)$

Вычислим абсциссу вершины:

$x_v = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3$

Из оставшихся графиков (1, 3, 4) только у графиков 1 и 4 абсцисса вершины равна 3. У параболы на графике 3 абсцисса вершины равна -3, следовательно, этот график нам не подходит.

Теперь вычислим ординату вершины, подставив $x_v = 3$ в уравнение функции:

$y_v = -(3)^2 + 6(3) - 7 = -9 + 18 - 7 = 2$

Таким образом, вершина параболы находится в точке с координатами $(3, 2)$. Эта точка является вершиной парабол на обоих графиках, 1 и 4.

3. Точка пересечения с осью ординат (OY)

Чтобы сделать окончательный выбор между графиками 1 и 4, найдем точку пересечения графика с осью OY. Для этого подставим значение $x=0$ в уравнение функции:

$y(0) = -(0)^2 + 6(0) - 7 = -7$

График функции должен пересекать ось ординат в точке $(0, -7)$.

• На графике 1 парабола пересекает ось OY в точке, ордината которой, судя по сетке, равна -7.
• На графике 4 парабола пересекает ось OY в точке $(0, -2)$.

Следовательно, график 4 не соответствует заданной функции.

Все найденные свойства (ветви направлены вниз, вершина в точке $(3, 2)$, пересечение с осью OY в точке $(0, -7)$) однозначно указывают на то, что искомый график изображен на рисунке 1.

Ответ: 1

93 Задайте аналитически квадратичную функцию, график которой изображён на рис. 73.

1) $y = 2x^2 + 8x + 17;$

2) $y = x^2 - 8x + 15;$

3) $y = x^2 + 8x + 17;$

4) $y = x^2 - 8x + 17.$

Рис. 73

Для того чтобы определить, какая из предложенных квадратичных функций соответствует графику, найдем координаты вершины параболы, изображенной на рисунке, и затем проверим, какая из функций имеет такую же вершину.

Из графика видно, что вершина параболы — это ее точка минимума. Координаты этой точки: абсцисса $x_v = 4$ и ордината $y_v = 1$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(4, 1)$.

Теперь последовательно проверим каждый из предложенных вариантов. Координата $x$ вершины параболы, заданной в виде $y = ax^2 + bx + c$, находится по формуле $x_v = -b/(2a)$.

1) $y = 2x^2 + 8x + 17$
В этом уравнении коэффициенты $a = 2$ и $b = 8$.
Найдем абсциссу вершины: $x_v = -8 / (2 \cdot 2) = -8 / 4 = -2$.
Это значение ($x_v = -2$) не совпадает с абсциссой вершины на графике ($x_v = 4$). Следовательно, этот вариант неверный.

2) $y = x^2 - 8x + 15$
В этом уравнении коэффициенты $a = 1$ и $b = -8$.
Найдем абсциссу вершины: $x_v = -(-8) / (2 \cdot 1) = 8 / 2 = 4$.
Абсцисса совпадает с той, что на графике. Теперь найдем ординату вершины, подставив $x_v = 4$ в уравнение функции:
$y_v = (4)^2 - 8(4) + 15 = 16 - 32 + 15 = -1$.
Координаты вершины $(4, -1)$ не совпадают с координатами вершины на графике $(4, 1)$. Следовательно, этот вариант неверный.

3) $y = x^2 + 8x + 17$
В этом уравнении коэффициенты $a = 1$ и $b = 8$.
Найдем абсциссу вершины: $x_v = -8 / (2 \cdot 1) = -4$.
Это значение ($x_v = -4$) не совпадает с абсциссой вершины на графике ($x_v = 4$). Следовательно, этот вариант неверный.

4) $y = x^2 - 8x + 17$
В этом уравнении коэффициенты $a = 1$ и $b = -8$.
Найдем абсциссу вершины: $x_v = -(-8) / (2 \cdot 1) = 8 / 2 = 4$.
Абсцисса совпадает. Найдем ординату вершины, подставив $x_v = 4$ в уравнение функции:
$y_v = (4)^2 - 8(4) + 17 = 16 - 32 + 17 = 1$.
Координаты вершины $(4, 1)$ полностью совпадают с координатами вершины на графике. Следовательно, этот вариант верный.

Ответ: 4) $y = x^2 - 8x + 17$.

94 Задайте аналитически квадратичную функцию, график которой изображён на рис. 74.

1) $y = -x^2 + 2x + 3$;

2) $y = -x^2 - 4x - 1$;

3) $y = -x^2 - 4x + 7$;

4) $y = -x^2 + 4x - 1$.

Рис. 74

Для того чтобы определить, какая из предложенных аналитических записей квадратичной функции соответствует графику на рис. 74, мы найдем ключевые характеристики параболы по графику и проверим, какому из уравнений они удовлетворяют.

Из графика видно, что это парабола, ветви которой направлены вниз. Это означает, что коэффициент при $x^2$ должен быть отрицательным, что выполняется для всех четырех вариантов.

Наиболее точный способ — определить координаты вершины параболы. По графику видно, что вершина находится в точке с координатами $(-2, 3)$.

Теперь проверим, для какой из предложенных функций вершина будет находиться в этой точке. Координаты вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ вычисляются по формулам: $x_v = -b/(2a)$, $y_v = y(x_v)$.

1) $y = -x^2 + 2x + 3$

В этой функции $a = -1$, $b = 2$. Найдем абсциссу вершины: $x_v = -2 / (2 \cdot (-1)) = -2 / (-2) = 1$. Полученное значение $x_v = 1$ не совпадает с абсциссой вершины на графике ($x_v = -2$). Следовательно, этот вариант не подходит.

2) $y = -x^2 - 4x - 1$

В этой функции $a = -1$, $b = -4$. Найдем абсциссу вершины: $x_v = -(-4) / (2 \cdot (-1)) = 4 / (-2) = -2$. Это значение совпадает с абсциссой вершины на графике. Теперь найдем ординату вершины, подставив $x_v = -2$ в уравнение функции: $y_v = -(-2)^2 - 4(-2) - 1 = -(4) + 8 - 1 = 3$. Координаты вершины $(-2, 3)$ полностью совпадают с вершиной на графике. Этот вариант является правильным.

3) $y = -x^2 - 4x + 7$

В этой функции $a = -1$, $b = -4$. Абсцисса вершины: $x_v = -(-4) / (2 \cdot (-1)) = -2$. Абсцисса совпадает, но найдем ординату вершины: $y_v = -(-2)^2 - 4(-2) + 7 = -4 + 8 + 7 = 11$. Полученная ордината $y_v = 11$ не совпадает с ординатой вершины на графике ($y_v = 3$). Следовательно, этот вариант не подходит.

4) $y = -x^2 + 4x - 1$

В этой функции $a = -1$, $b = 4$. Найдем абсциссу вершины: $x_v = -4 / (2 \cdot (-1)) = -4 / (-2) = 2$. Полученное значение $x_v = 2$ не совпадает с абсциссой вершины на графике ($x_v = -2$). Следовательно, этот вариант не подходит.

Ответ: $y = -x^2 - 4x - 1$.