Страница 150, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Что такое числовая последовательность?

Числовая последовательность — это упорядоченный набор чисел, в котором каждому натуральному числу $n$ (называемому индексом или номером) поставлено в соответствие некоторое действительное число $a_n$ (называемое членом последовательности).

Более строго, числовая последовательность представляет собой функцию $y = f(n)$, определённую на множестве натуральных чисел $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$. Значение функции $f(n)$ для натурального числа $n$ называют $n$-м членом последовательности и обозначают как $a_n$. Таким образом, $a_n = f(n)$.

Саму последовательность принято обозначать в виде перечисления её членов: $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots$ или с помощью скобок: $(a_n)$ или $\{a_n\}$.

Например, последовательность чётных натуральных чисел $2, 4, 6, 8, \dots$, где $a_1=2, a_2=4, a_3=6$ и так далее. Или последовательность чисел, обратных натуральным: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$, где $a_1=1, a_2=\frac{1}{2}, a_3=\frac{1}{3}$.

Существует несколько способов задания последовательности:

1. Аналитический способ. Последовательность задаётся формулой $n$-го члена, которая позволяет вычислить любой член последовательности по его номеру $n$.
Пример: Последовательность $a_n = n^2 + 1$. По этой формуле можно найти любой член: $a_1 = 1^2 + 1 = 2$, $a_2 = 2^2 + 1 = 5$, $a_{10} = 10^2 + 1 = 101$, и так далее. Последовательность имеет вид: $2, 5, 10, 17, \dots$

2. Рекуррентный способ. Задаётся формула, позволяющая вычислить каждый следующий член последовательности через один или несколько предыдущих. При этом необходимо задать один или несколько первых членов.
Пример: Последовательность Фибоначчи. $a_1 = 1$, $a_2 = 1$, и $a_{n} = a_{n-1} + a_{n-2}$ для всех $n > 2$. Чтобы найти $a_3$, нужно сложить $a_1$ и $a_2$: $a_3 = 1 + 1 = 2$. Чтобы найти $a_4$, нужно сложить $a_2$ и $a_3$: $a_4 = 1 + 2 = 3$. Последовательность имеет вид: $1, 1, 2, 3, 5, 8, \dots$

3. Словесный способ. Последовательность описывается словами, без явного указания формулы.
Пример: Последовательность простых чисел. Первый член — 2, второй — 3, третий — 5, и так далее. Последовательность имеет вид: $2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots$

Последовательности могут быть конечными (если количество её членов ограничено) и бесконечными (если количество её членов не ограничено). В математическом анализе чаще всего рассматриваются бесконечные числовые последовательности.

Ответ: Числовая последовательность — это функция, определённая на множестве натуральных чисел. Иными словами, это занумерованный ряд чисел, где каждому номеру (натуральному числу) соответствует ровно одно число (член последовательности).

2. Что значит задать последовательность аналитически? Приведите примеры аналитически заданных последовательностей.

Что значит задать последовательность аналитически?

Задать последовательность аналитически — это значит указать формулу для ее $n$-го члена, которая позволяет вычислить любой член последовательности по его номеру $n$. Такая формула выражает член последовательности $a_n$ как функцию от его номера $n$, то есть $a_n = f(n)$, где $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$).

Основное преимущество аналитического способа задания последовательности заключается в том, что он дает возможность найти любой член последовательности, даже с очень большим номером, прямым вычислением, не находя при этом все предыдущие члены. Например, чтобы найти сотый член последовательности $a_n = n^2 + 1$, достаточно подставить $n=100$ в формулу: $a_{100} = 100^2 + 1 = 10001$. Это отличает аналитический способ от рекуррентного, где для нахождения $a_n$ требуется знать один или несколько предыдущих членов (например, $a_{n-1}$ или $a_{n-2}$).

Ответ: Задать последовательность аналитически — это указать формулу $n$-го члена $a_n = f(n)$, которая позволяет найти любой член последовательности по его порядковому номеру $n$.

Приведите примеры аналитически заданных последовательностей.

• Последовательность четных натуральных чисел. Она задается формулой $a_n = 2n$.
  Первые члены последовательности: $a_1 = 2 \cdot 1 = 2$, $a_2 = 2 \cdot 2 = 4$, $a_3 = 2 \cdot 3 = 6$, и так далее. Последовательность: 2, 4, 6, 8, ...

• Геометрическая прогрессия со знаменателем $1/2$ и первым членом $1$. Она задается формулой $b_n = (\frac{1}{2})^{n-1}$.
  Первые члены последовательности: $b_1 = (\frac{1}{2})^0 = 1$, $b_2 = (\frac{1}{2})^1 = \frac{1}{2}$, $b_3 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$, и так далее. Последовательность: 1, $1/2$, $1/4$, $1/8$, ...

• Знакочередующаяся последовательность, члены которой — обратные квадраты натуральных чисел с чередующимся знаком. Она задается формулой $c_n = \frac{(-1)^n}{n^2}$.
  Первые члены последовательности: $c_1 = \frac{-1}{1^2} = -1$, $c_2 = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$, $c_3 = \frac{-1}{3^2} = -\frac{1}{9}$, и так далее. Последовательность: -1, $1/4$, $-1/9$, $1/16$, ...

• Последовательность, значения членов которой равны $1$ для нечетных номеров и $-1$ для четных. Она задается формулой $d_n = (-1)^{n+1}$.
  Первые члены последовательности: $d_1 = (-1)^2 = 1$, $d_2 = (-1)^3 = -1$, $d_3 = (-1)^4 = 1$, и так далее. Последовательность: 1, -1, 1, -1, ...

Ответ: Примеры формул, аналитически задающих последовательности: $a_n = 2n$ (последовательность четных чисел); $b_n = (\frac{1}{2})^{n-1}$ (геометрическая прогрессия); $c_n = \frac{(-1)^n}{n^2}$ (знакочередующаяся последовательность); $d_n = (-1)^{n+1}$ (периодическая последовательность).

3. Приведите пример словесно заданной последовательности.

Словесный способ задания числовой последовательности означает, что правило, по которому находятся её члены, описывается словами, а не строгой математической формулой. Такой способ удобен, когда формулу n-го члена сложно или невозможно вывести.

Приведем классический пример словесно заданной последовательности.

Рассмотрим последовательность, членами которой являются все простые числа, расположенные в порядке возрастания.

Напомним, что простое число — это натуральное число, большее 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и само себя.

Следуя этому словесному правилу, мы можем последовательно найти члены этой последовательности:
Первый член $a_1$ — это наименьшее простое число, то есть 2.
Второй член $a_2$ — это следующее за двойкой простое число, то есть 3.
Третий член $a_3$ — это следующее за тройкой простое число, то есть 5.
Четвертый член $a_4 = 7$, пятый $a_5 = 11$, и так далее.

Таким образом, мы получаем числовую последовательность: $2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots$

Данный способ задания является словесным, поскольку не существует общеизвестной простой аналитической формулы (формулы n-го члена), которая позволяла бы вычислить любое простое число по его порядковому номеру $n$. Описание словами в данном случае является основным и наиболее естественным способом задания этой последовательности.

Ответ: Примером словесно заданной последовательности является последовательность всех простых чисел, расположенных в порядке возрастания: $2, 3, 5, 7, 11, \dots$

4. Что значит задать последовательность рекуррентно? Приведите пример рекуррентно заданной последовательности.

Что значит задать последовательность рекуррентно?

Задать последовательность рекуррентно (от латинского recurrere — возвращаться) — это определить каждый следующий член последовательности через один или несколько предыдущих членов. Такой способ задания всегда включает в себя два обязательных элемента:

1. Рекуррентная формула — это формула, которая выражает член последовательности с номером $n$ (обозначается $a_n$) через предыдущие члены (например, $a_{n-1}$, $a_{n-2}$ и т.д.).

2. Начальные условия — это один или несколько первых членов последовательности, которые задаются явным образом. Количество начальных членов зависит от того, сколько предыдущих членов используется в рекуррентной формуле. Например, если формула для $a_n$ использует только $a_{n-1}$, достаточно задать только первый член $a_1$.

Без начальных условий рекуррентная формула не может задать единственную последовательность, так как вычислениям не с чего будет начаться.

Ответ: Задать последовательность рекуррентно — значит задать формулу, по которой n-й член последовательности вычисляется через предыдущие члены, и указать один или несколько начальных членов последовательности.

Приведите пример рекуррентно заданной последовательности.

Классическим примером рекуррентно заданной последовательности является последовательность чисел Фибоначчи. В этой последовательности каждый следующий член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих.

Её рекуррентное определение состоит из двух частей:

1. Начальные условия: задаются первые два члена последовательности. Чаще всего это $F_1 = 1$ и $F_2 = 1$.

2. Рекуррентная формула: для всех натуральных чисел $n \ge 3$ справедлива формула $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$.

Используя эти правила, можно последовательно вычислить члены последовательности:

$F_3 = F_2 + F_1 = 1 + 1 = 2$

$F_4 = F_3 + F_2 = 2 + 1 = 3$

$F_5 = F_4 + F_3 = 3 + 2 = 5$

$F_6 = F_5 + F_4 = 5 + 3 = 8$

... и так далее. Начало последовательности чисел Фибоначчи выглядит так: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

Ответ: Пример рекуррентно заданной последовательности — это числа Фибоначчи, которые определяются начальными условиями $F_1 = 1, F_2 = 1$ и рекуррентной формулой $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ для $n \ge 3$.

5. Какую последовательность называют:

а) возрастающей;

б) убывающей?

а) возрастающей

Последовательность называют возрастающей, если каждый её член, начиная со второго, больше предыдущего.
Если обозначить члены последовательности как $a_1, a_2, a_3, ..., a_n, a_{n+1}, ...$, то для возрастающей последовательности должно выполняться условие $a_{n+1} > a_n$ для всех натуральных $n$.
Примером может служить последовательность натуральных чисел: $1, 2, 3, 4, ...$ . Здесь каждый следующий член на 1 больше предыдущего. Например, $a_3 = 3$, $a_4 = 4$, и $4 > 3$.
Другой пример — геометрическая прогрессия с первым положительным членом и знаменателем больше 1. Например, последовательность $3, 6, 12, 24, ...$ (где $b_1=3, q=2$) является возрастающей.

Ответ: Возрастающей называют последовательность, в которой каждый следующий член больше предыдущего.

б) убывающей

Последовательность называют убывающей, если каждый её член, начиная со второго, меньше предыдущего.
Для убывающей последовательности $(a_n)$ должно выполняться условие $a_{n+1} < a_n$ для всех натуральных $n$.
Примером является последовательность, заданная формулой $a_n = \frac{1}{n}$: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, ...$. Здесь каждый следующий член меньше предыдущего, так как с ростом $n$ знаменатель дроби увеличивается, а сама дробь уменьшается. Например, $a_2 = \frac{1}{2}$, $a_3 = \frac{1}{3}$, и $\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$.
Другой пример — арифметическая прогрессия с отрицательной разностью. Например, последовательность $20, 15, 10, 5, ...$ (где $a_1=20, d=-5$) является убывающей.

Ответ: Убывающей называют последовательность, в которой каждый следующий член меньше предыдущего.

6. Приведите пример:

а) возрастающей последовательности;

б) убывающей последовательности;

в) немонотонной последовательности.

а) возрастающей последовательности

Возрастающей называется последовательность, у которой каждый следующий член больше предыдущего. Математически это записывается как $a_{n+1} > a_n$ для любого натурального номера $n$.

Простейшим примером возрастающей последовательности является последовательность натуральных чисел, которая задается формулой общего члена $a_n = n$.

Члены этой последовательности: 1, 2, 3, 4, 5, ...

Проверим условие возрастания: $a_{n+1} = n + 1$. Неравенство $a_{n+1} > a_n$ принимает вид $n + 1 > n$, что очевидно верно для любого натурального $n$. Следовательно, эта последовательность является возрастающей.

Другим примером может быть геометрическая прогрессия с основанием больше 1, например, $a_n = 2^n$ (2, 4, 8, 16, ...).

Ответ: последовательность натуральных чисел $a_n = n$, то есть 1, 2, 3, ...

б) убывающей последовательности

Убывающей называется последовательность, у которой каждый следующий член меньше предыдущего. Математически это записывается как $a_{n+1} < a_n$ для любого натурального номера $n$.

В качестве примера можно привести последовательность, заданную формулой $a_n = \frac{1}{n}$.

Члены этой последовательности: 1, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{4}$, ...

Проверим условие убывания: $a_{n+1} = \frac{1}{n+1}$. Неравенство $a_{n+1} < a_n$ принимает вид $\frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}$. Поскольку $n$ — натуральное число, то $n > 0$ и $n+1 > 0$, поэтому мы можем умножить обе части неравенства на $n(n+1)$, не меняя знака. Получим $n < n+1$, что является верным неравенством. Значит, последовательность убывающая.

Другим примером является арифметическая прогрессия с отрицательной разностью, например $a_n = 10 - n$ (9, 8, 7, 6, ...).

Ответ: последовательность, заданная формулой $a_n = \frac{1}{n}$, то есть 1, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, ...

в) немонотонной последовательности

Немонотонной называется последовательность, которая не является ни возрастающей, ни убывающей. Это означает, что в ней существуют как пары соседних членов, где следующий больше предыдущего ($a_{k+1} > a_k$), так и пары, где следующий меньше предыдущего ($a_{m+1} < a_m$).

Характерным примером немонотонной последовательности является знакочередующаяся последовательность, заданная формулой $a_n = (-1)^n$.

Её члены: -1, 1, -1, 1, -1, ...

Рассмотрим поведение этой последовательности:

• $a_2 = 1 > a_1 = -1$, значит, она не является убывающей.
• $a_3 = -1 < a_2 = 1$, значит, она не является возрастающей.

Так как последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей, она немонотонная.

Другой пример: $a_n = \cos(\pi n)$, что также дает последовательность -1, 1, -1, 1, ...

Ответ: последовательность, заданная формулой $a_n = (-1)^n$, то есть -1, 1, -1, 1, ...

61 a) Найдите значение выражения $\frac{a^3\sqrt{6}}{12}$ при $a = -\sqrt{6}$.

б) Найдите значение выражения $\frac{250}{x^5\sqrt{10}}$ при $a = \sqrt{10}$.

а)

Чтобы найти значение выражения $\frac{a^3\sqrt{6}}{12}$ при $a = -\sqrt{6}$, подставим данное значение $a$ в выражение.

$\frac{(-\sqrt{6})^3\sqrt{6}}{12}$

Сначала вычислим значение $(-\sqrt{6})^3$. Так как степень нечетная, знак минус сохраняется:

$(-\sqrt{6})^3 = -(\sqrt{6})^3 = -(\sqrt{6}^2 \cdot \sqrt{6}) = -(6 \cdot \sqrt{6}) = -6\sqrt{6}$.

Теперь подставим полученный результат обратно в числитель дроби:

$\frac{-6\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}}{12}$

Умножим корни в числителе, используя свойство $\sqrt{b} \cdot \sqrt{b} = b$:

$\sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = 6$.

Выражение примет вид:

$\frac{-6 \cdot 6}{12} = \frac{-36}{12}$

Выполнив деление, получим окончательный результат:

$\frac{-36}{12} = -3$.

Ответ: -3

б)

В условии задачи, вероятно, допущена опечатка: переменная в выражении обозначена как $x$, а значение дано для $a$. Будем решать задачу, предполагая, что переменная в выражении должна быть $a$, то есть нужно найти значение выражения $\frac{250}{a^5\sqrt{10}}$ при $a = \sqrt{10}$.

Подставим значение $a = \sqrt{10}$ в выражение:

$\frac{250}{(\sqrt{10})^5\sqrt{10}}$

Упростим знаменатель, используя свойство степеней $c^m \cdot c^n = c^{m+n}$:

$(\sqrt{10})^5 \cdot \sqrt{10} = (\sqrt{10})^5 \cdot (\sqrt{10})^1 = (\sqrt{10})^{5+1} = (\sqrt{10})^6$.

Теперь вычислим $(\sqrt{10})^6$. Это можно сделать, представив степень в виде $((\sqrt{10})^2)^3$:

$(\sqrt{10})^6 = ((\sqrt{10})^2)^3 = 10^3 = 1000$.

Подставим полученное значение знаменателя обратно в дробь:

$\frac{250}{1000}$

Сократим дробь:

$\frac{250}{1000} = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = 0,25$.

Ответ: 0,25

62 a) Найдите значение выражения $ \frac{12x + 5y}{4x^2y} - \frac{5y - 4x}{5xy^2} $ при $ x = \frac{1}{2} $, $ y = \frac{1}{5} $.

б) Найдите значение выражения $ \frac{2n + 3m}{6mn^2} - \frac{9m - 2n}{9m^2n} $ при $ m = \frac{2}{3} $, $ n = \frac{1}{2} $.

а)

Сначала упростим данное выражение, приведя дроби к общему знаменателю.
Исходное выражение: $\frac{12x + 5y}{4x^2y} - \frac{5y - 4x}{5xy^2}$.
Знаменатели дробей: $4x^2y$ и $5xy^2$.
Наименьший общий знаменатель для них будет $20x^2y^2$.
Приведем первую дробь к общему знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $5y$:
$\frac{(12x + 5y) \cdot 5y}{4x^2y \cdot 5y} = \frac{60xy + 25y^2}{20x^2y^2}$.
Приведем вторую дробь к общему знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $4x$:
$\frac{(5y - 4x) \cdot 4x}{5xy^2 \cdot 4x} = \frac{20xy - 16x^2}{20x^2y^2}$.
Теперь выполним вычитание дробей:
$\frac{60xy + 25y^2}{20x^2y^2} - \frac{20xy - 16x^2}{20x^2y^2} = \frac{(60xy + 25y^2) - (20xy - 16x^2)}{20x^2y^2} = \frac{60xy + 25y^2 - 20xy + 16x^2}{20x^2y^2}$.
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{16x^2 + 40xy + 25y^2}{20x^2y^2}$.
Заметим, что числитель является полным квадратом суммы, который раскладывается по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a=4x$ и $b=5y$:
$16x^2 + 40xy + 25y^2 = (4x)^2 + 2 \cdot (4x) \cdot (5y) + (5y)^2 = (4x + 5y)^2$.
Таким образом, упрощенное выражение имеет вид: $\frac{(4x + 5y)^2}{20x^2y^2}$.
Теперь подставим в него заданные значения $x = \frac{1}{2}$ и $y = \frac{1}{5}$.
Вычислим значение числителя: $(4 \cdot \frac{1}{2} + 5 \cdot \frac{1}{5})^2 = (2 + 1)^2 = 3^2 = 9$.
Вычислим значение знаменателя: $20 \cdot (\frac{1}{2})^2 \cdot (\frac{1}{5})^2 = 20 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{25} = \frac{20}{100} = \frac{1}{5}$.
Найдем значение всего выражения:
$\frac{9}{\frac{1}{5}} = 9 \cdot 5 = 45$.
Ответ: 45

б)

Упростим выражение $\frac{2n + 3m}{6mn^2} - \frac{9m - 2n}{9m^2n}$, приведя дроби к общему знаменателю.
Знаменатели дробей: $6mn^2$ и $9m^2n$.
Наименьший общий знаменатель для них равен $18m^2n^2$.
Приведем первую дробь к общему знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $3m$:
$\frac{(2n + 3m) \cdot 3m}{6mn^2 \cdot 3m} = \frac{6mn + 9m^2}{18m^2n^2}$.
Приведем вторую дробь, домножив ее числитель и знаменатель на $2n$:
$\frac{(9m - 2n) \cdot 2n}{9m^2n \cdot 2n} = \frac{18mn - 4n^2}{18m^2n^2}$.
Выполним вычитание дробей:
$\frac{(6mn + 9m^2) - (18mn - 4n^2)}{18m^2n^2} = \frac{6mn + 9m^2 - 18mn + 4n^2}{18m^2n^2}$.
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{9m^2 - 12mn + 4n^2}{18m^2n^2}$.
Числитель является полным квадратом разности, который раскладывается по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a=3m$ и $b=2n$:
$9m^2 - 12mn + 4n^2 = (3m)^2 - 2 \cdot (3m) \cdot (2n) + (2n)^2 = (3m - 2n)^2$.
Упрощенное выражение: $\frac{(3m - 2n)^2}{18m^2n^2}$.
Подставим заданные значения $m = \frac{2}{3}$ и $n = \frac{1}{2}$.
Вычислим значение числителя: $(3 \cdot \frac{2}{3} - 2 \cdot \frac{1}{2})^2 = (2 - 1)^2 = 1^2 = 1$.
Вычислим значение знаменателя: $18 \cdot (\frac{2}{3})^2 \cdot (\frac{1}{2})^2 = 18 \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4} = \frac{18 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{18}{9} = 2$.
Найдем значение всего выражения:
$\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

63 a) Найдите наименьшее значение выражения $2x^2 - 8x - 7$.

б) Найдите наибольшее значение выражения $-3x^2 - 6x + 5$.

Данное выражение $2x^2 - 8x - 7$ является квадратичной функцией вида $y = ax^2 + bx + c$. Графиком такой функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ в данном выражении $a = 2$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет наименьшее значение, которое достигается в вершине параболы.

Координата $x_0$ вершины параболы находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Для нашего выражения коэффициенты равны $a=2$ и $b=-8$.

Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$.

Наименьшее значение выражения — это ордината вершины $y_0$. Чтобы найти её, подставим значение $x_0 = 2$ в исходное выражение:

$y_{min} = 2(2)^2 - 8(2) - 7 = 2 \cdot 4 - 16 - 7 = 8 - 16 - 7 = -15$.

Ответ: $-15$

Данное выражение $-3x^2 - 6x + 5$ также является квадратичной функцией. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -3$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет наибольшее значение, которое достигается в вершине параболы.

Найдем абсциссу вершины $x_0$ по той же формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В данном случае коэффициенты равны $a=-3$ и $b=-6$.

Вычислим абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot (-3)} = -\frac{-6}{-6} = -1$.

Наибольшее значение выражения — это ордината вершины $y_0$. Подставим $x_0 = -1$ в исходное выражение:

$y_{max} = -3(-1)^2 - 6(-1) + 5 = -3 \cdot 1 + 6 + 5 = -3 + 6 + 5 = 8$.

Ответ: $8$

64 Упростите выражение:

а) $\frac{2x-3}{5x-20} - \frac{x-2}{2x-8}$;

б) $\frac{c-6}{8+12c} - \frac{2c-7}{15c+10}$.

а) $ \frac{2x - 3}{5x - 20} - \frac{x - 2}{2x - 8} $

Для упрощения данного выражения необходимо привести дроби к общему знаменателю.

1. Разложим на множители знаменатели каждой дроби:

Знаменатель первой дроби: $ 5x - 20 = 5(x - 4) $

Знаменатель второй дроби: $ 2x - 8 = 2(x - 4) $

2. Найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ). Он равен произведению всех уникальных множителей в их наивысшей степени: $ НОЗ = 5 \cdot 2 \cdot (x - 4) = 10(x - 4) $.

3. Приведем дроби к общему знаменателю. Для этого числитель и знаменатель первой дроби домножим на дополнительный множитель 2, а второй дроби — на 5:

$ \frac{2(2x - 3)}{2 \cdot 5(x - 4)} - \frac{5(x - 2)}{5 \cdot 2(x - 4)} = \frac{4x - 6}{10(x - 4)} - \frac{5x - 10}{10(x - 4)} $

4. Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, вычитая их числители:

$ \frac{(4x - 6) - (5x - 10)}{10(x - 4)} = \frac{4x - 6 - 5x + 10}{10(x - 4)} $

5. Упростим числитель, приведя подобные слагаемые:

$ \frac{(4x - 5x) + (-6 + 10)}{10(x - 4)} = \frac{-x + 4}{10(x - 4)} $

6. Вынесем в числителе -1 за скобки и сократим дробь на общий множитель $ (x-4) $, при условии, что $ x \neq 4 $:

$ \frac{-(x - 4)}{10(x - 4)} = -\frac{1}{10} $

Ответ: $ -\frac{1}{10} $.

б) $ \frac{c - 6}{8 + 12c} - \frac{2c - 7}{15c + 10} $

Для упрощения этого выражения также приведем дроби к общему знаменателю.

1. Разложим на множители знаменатели каждой дроби:

Знаменатель первой дроби: $ 8 + 12c = 4(2 + 3c) $

Знаменатель второй дроби: $ 15c + 10 = 5(3c + 2) $

2. Найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ). Отметим, что $ (2+3c) $ и $ (3c+2) $ — это одно и то же выражение. НОЗ равен $ 4 \cdot 5 \cdot (2 + 3c) = 20(2 + 3c) $.

3. Приведем дроби к общему знаменателю. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на 5, а второй — на 4:

$ \frac{5(c - 6)}{5 \cdot 4(2 + 3c)} - \frac{4(2c - 7)}{4 \cdot 5(3c + 2)} = \frac{5c - 30}{20(2 + 3c)} - \frac{8c - 28}{20(2 + 3c)} $

4. Выполним вычитание дробей:

$ \frac{(5c - 30) - (8c - 28)}{20(2 + 3c)} = \frac{5c - 30 - 8c + 28}{20(2 + 3c)} $

5. Упростим числитель:

$ \frac{(5c - 8c) + (-30 + 28)}{20(2 + 3c)} = \frac{-3c - 2}{20(2 + 3c)} $

6. Вынесем в числителе -1 за скобки и сократим дробь на общий множитель $ (3c+2) $, при условии, что $ c \neq -\frac{2}{3} $:

$ \frac{-(3c + 2)}{20(2 + 3c)} = -\frac{1}{20} $

Ответ: $ -\frac{1}{20} $.

65 a) Найдите значение выражения $ \frac{10x}{16 - x^2} + \frac{5}{x - 4} $ при $x = 1$.

б) Найдите значение выражения $ \frac{6}{7 - a} + \frac{12a}{a^2 - 49} $ при $a = -5$.

а) Сначала упростим данное выражение. Знаменатель первой дроби $16 - x^2$ можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $16 - x^2 = (4 - x)(4 + x)$. Знаменатель второй дроби $x - 4$ можно представить как $-(4 - x)$.

$\frac{10x}{16 - x^2} + \frac{5}{x - 4} = \frac{10x}{(4 - x)(4 + x)} + \frac{5}{-(4 - x)} = \frac{10x}{(4 - x)(4 + x)} - \frac{5}{4 - x}$

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $(4 - x)(4 + x)$. Для этого домножим числитель и знаменатель второй дроби на $(4 + x)$:

$\frac{10x}{(4 - x)(4 + x)} - \frac{5(4 + x)}{(4 - x)(4 + x)} = \frac{10x - 5(4 + x)}{(4 - x)(4 + x)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим его:

$\frac{10x - 20 - 5x}{(4 - x)(4 + x)} = \frac{5x - 20}{(4 - x)(4 + x)}$

Вынесем общий множитель 5 в числителе:

$\frac{5(x - 4)}{(4 - x)(4 + x)}$

Так как $x - 4 = -(4 - x)$, мы можем сократить дробь на $(4 - x)$:

$\frac{-5(4 - x)}{(4 - x)(4 + x)} = -\frac{5}{4 + x}$

Теперь подставим значение $x = 1$ в упрощенное выражение:

$-\frac{5}{4 + 1} = -\frac{5}{5} = -1$

Ответ: -1

б) Упростим выражение. Знаменатель второй дроби $a^2 - 49$ можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $a^2 - 49 = (a - 7)(a + 7)$. Знаменатель первой дроби $7 - a$ можно представить как $-(a - 7)$.

$\frac{6}{7 - a} + \frac{12a}{a^2 - 49} = \frac{6}{-(a - 7)} + \frac{12a}{(a - 7)(a + 7)} = -\frac{6}{a - 7} + \frac{12a}{(a - 7)(a + 7)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(a - 7)(a + 7)$. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(a + 7)$:

$-\frac{6(a + 7)}{(a - 7)(a + 7)} + \frac{12a}{(a - 7)(a + 7)} = \frac{-6(a + 7) + 12a}{(a - 7)(a + 7)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{-6a - 42 + 12a}{(a - 7)(a + 7)} = \frac{6a - 42}{(a - 7)(a + 7)}$

Вынесем общий множитель 6 в числителе:

$\frac{6(a - 7)}{(a - 7)(a + 7)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a - 7)$:

$\frac{6}{a + 7}$

Теперь подставим значение $a = -5$ в упрощенное выражение:

$\frac{6}{-5 + 7} = \frac{6}{2} = 3$

Ответ: 3

66 a) Найдите значение выражения $\frac{x^2 - y^2}{3xy} \cdot \frac{3y}{x - y}$ при $x=1, y=-1,5$.

б) Найдите значение выражения $\frac{c^2 - 49}{10cd} : \frac{2c + 14}{5d}$ при $c=0,5$.

а)

Сначала упростим данное выражение $\frac{x^2 - y^2}{3xy} \cdot \frac{3y}{x-y}$.

Числитель первой дроби $x^2 - y^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$\frac{x^2 - y^2}{3xy} \cdot \frac{3y}{x-y} = \frac{(x-y)(x+y)}{3xy} \cdot \frac{3y}{x-y}$

Теперь сократим общие множители в числителях и знаменателях. Можно сократить $(x-y)$ и $3y$ (при условии, что $x \neq y$, $x \neq 0$, $y \neq 0$).

$\frac{\cancel{(x-y)}(x+y)}{\cancel{3xy}_x} \cdot \frac{\cancel{3y}}{\cancel{x-y}} = \frac{x+y}{x}$

Теперь подставим заданные значения $x=1$ и $y=-1,5$ в упрощенное выражение.

$\frac{x+y}{x} = \frac{1 + (-1,5)}{1} = \frac{1 - 1,5}{1} = \frac{-0,5}{1} = -0,5$

Ответ: -0,5

б)

Сначала упростим выражение $\frac{c^2 - 49}{10cd} : \frac{2c + 14}{5d}$.

Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь.

$\frac{c^2 - 49}{10cd} : \frac{2c + 14}{5d} = \frac{c^2 - 49}{10cd} \cdot \frac{5d}{2c + 14}$

Теперь разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй дроби.

Числитель $c^2 - 49$ — это разность квадратов: $c^2 - 7^2 = (c-7)(c+7)$.

В знаменателе $2c + 14$ вынесем общий множитель 2 за скобки: $2(c+7)$.

Подставим разложенные выражения обратно в произведение:

$\frac{(c-7)(c+7)}{10cd} \cdot \frac{5d}{2(c+7)}$

Сократим общие множители: $(c+7)$, а также $5d$ и $10cd$ (останется $2c$).

$\frac{(c-7)\cancel{(c+7)}}{\cancel{10cd}_{2c}} \cdot \frac{\cancel{5d}}{2\cancel{(c+7)}} = \frac{c-7}{2c} \cdot \frac{1}{2} = \frac{c-7}{4c}$

Теперь подставим заданное значение $c=0,5$ в упрощенное выражение.

$\frac{c-7}{4c} = \frac{0,5 - 7}{4 \cdot 0,5} = \frac{-6,5}{2} = -3,25$

Ответ: -3,25

67 Сократите дробь:

а) $ \frac{x^2 + 4xy - 2x - 8y}{x^2 + 8xy + 16y^2} $

Б) $ \frac{(3a - d)^2 - (3a + d)^2}{ad} $

В) $ \frac{x^2 - 5xy + 2x - 10y}{x^2 - 10xy + 25y^2} $

Г) $ \frac{(6b + c)^2 - (6b - c)^2}{bc} $

а) $\frac{x^2 + 4xy - 2x - 8y}{x^2 + 8xy + 16y^2}$

Для сокращения дроби необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

Разложим числитель методом группировки:

$x^2 + 4xy - 2x - 8y = (x^2 + 4xy) - (2x + 8y) = x(x + 4y) - 2(x + 4y) = (x - 2)(x + 4y)$

Разложим знаменатель по формуле квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$:

$x^2 + 8xy + 16y^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot (4y) + (4y)^2 = (x + 4y)^2$

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$\frac{(x - 2)(x + 4y)}{(x + 4y)^2}$

Сократим общий множитель $(x + 4y)$:

$\frac{x - 2}{x + 4y}$

Ответ: $\frac{x - 2}{x + 4y}$

б) $\frac{(3a - d)^2 - (3a + d)^2}{ad}$

Для упрощения числителя воспользуемся формулой разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = 3a - d$ и $B = 3a + d$.

$(3a - d)^2 - (3a + d)^2 = ((3a - d) - (3a + d)) \cdot ((3a - d) + (3a + d))$

Раскроем скобки в каждом множителе:

$(3a - d - 3a - d) \cdot (3a - d + 3a + d) = (-2d) \cdot (6a) = -12ad$

Подставим полученное выражение в дробь:

$\frac{-12ad}{ad}$

Сократим дробь на $ad$:

$-12$

Ответ: $-12$

в) $\frac{x^2 - 5xy + 2x - 10y}{x^2 - 10xy + 25y^2}$

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.

Разложим числитель методом группировки:

$x^2 - 5xy + 2x - 10y = (x^2 - 5xy) + (2x - 10y) = x(x - 5y) + 2(x - 5y) = (x + 2)(x - 5y)$

Разложим знаменатель по формуле квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$:

$x^2 - 10xy + 25y^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot (5y) + (5y)^2 = (x - 5y)^2$

Теперь подставим разложенные выражения в дробь:

$\frac{(x + 2)(x - 5y)}{(x - 5y)^2}$

Сократим общий множитель $(x - 5y)$:

$\frac{x + 2}{x - 5y}$

Ответ: $\frac{x + 2}{x - 5y}$

г) $\frac{(6b + c)^2 - (6b - c)^2}{bc}$

Воспользуемся формулой разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$ для упрощения числителя, где $A = 6b + c$ и $B = 6b - c$.

$(6b + c)^2 - (6b - c)^2 = ((6b + c) - (6b - c)) \cdot ((6b + c) + (6b - c))$

Раскроем скобки в каждом множителе:

$(6b + c - 6b + c) \cdot (6b + c + 6b - c) = (2c) \cdot (12b) = 24bc$

Подставим полученное выражение в дробь:

$\frac{24bc}{bc}$

Сократим дробь на $bc$:

$24$

Ответ: $24$

68 Найдите значение выражения $(\frac{m+1}{m-1} - \frac{m-1}{m+1}) : \frac{2m}{5m-5}$ при $m = \frac{1}{9}$.

Для нахождения значения выражения сначала упростим его. Выполним пошагово все действия.

1. Выполним вычитание дробей в скобках. Для этого приведем их к общему знаменателю $(m-1)(m+1)$:
$\left(\frac{m+1}{m-1} - \frac{m-1}{m+1}\right) = \frac{(m+1)(m+1)}{(m-1)(m+1)} - \frac{(m-1)(m-1)}{(m+1)(m-1)} = \frac{(m+1)^2 - (m-1)^2}{(m-1)(m+1)}$
Теперь упростим числитель. Можно использовать формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ или раскрыть скобки по формулам квадрата суммы и квадрата разности:
$(m+1)^2 - (m-1)^2 = (m^2 + 2m + 1) - (m^2 - 2m + 1) = m^2 + 2m + 1 - m^2 + 2m - 1 = 4m$
Знаменатель, по формуле разности квадратов, равен $m^2 - 1$.
Таким образом, результат действия в скобках: $\frac{4m}{m^2 - 1}$.

2. Теперь выполним деление. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную (перевернутую) дробь.
$\frac{4m}{m^2 - 1} : \frac{2m}{5m - 5} = \frac{4m}{m^2 - 1} \cdot \frac{5m - 5}{2m}$
Разложим знаменатели на множители для сокращения: $m^2-1 = (m-1)(m+1)$ и $5m-5 = 5(m-1)$.
$\frac{4m}{(m-1)(m+1)} \cdot \frac{5(m-1)}{2m}$
Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. Можно сократить на $2m$ (при $m \neq 0$) и на $(m-1)$ (при $m \neq 1$).
$\frac{2 \cdot \cancel{2m}}{\cancel{(m-1)}(m+1)} \cdot \frac{5\cancel{(m-1)}}{\cancel{2m}} = \frac{2 \cdot 5}{m+1} = \frac{10}{m+1}$

3. Подставим значение $m = \frac{1}{9}$ в упрощенное выражение.
$\frac{10}{m+1} = \frac{10}{\frac{1}{9} + 1}$
Сначала вычислим знаменатель:
$\frac{1}{9} + 1 = \frac{1}{9} + \frac{9}{9} = \frac{10}{9}$
Теперь вычислим значение всего выражения:
$\frac{10}{\frac{10}{9}} = 10 \cdot \frac{9}{10} = 9$
Ответ: 9

69 Найдите значение выражения $(\frac{b}{a - b} - \frac{b}{a + b}) \cdot \frac{a^2 + 2ab + b^2}{2b^2}$ при

$a = -0,2, b = 0,3.$

Чтобы найти значение выражения, сначала упростим его, а затем подставим числовые значения переменных.

Исходное выражение: $(\frac{b}{a-b} - \frac{b}{a+b}) \cdot \frac{a^2 + 2ab + b^2}{2b^2}$.

Сначала выполним действие в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(a-b)(a+b)$.

$\frac{b}{a-b} - \frac{b}{a+b} = \frac{b(a+b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{b(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{b(a+b) - b(a-b)}{(a-b)(a+b)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{ab + b^2 - (ab - b^2)}{(a-b)(a+b)} = \frac{ab + b^2 - ab + b^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{2b^2}{a^2 - b^2}$.

Теперь рассмотрим второй множитель. Его числитель $a^2 + 2ab + b^2$ является формулой квадрата суммы: $(a+b)^2$.

Таким образом, всё выражение можно переписать в следующем виде:

$\frac{2b^2}{a^2 - b^2} \cdot \frac{(a+b)^2}{2b^2}$.

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для знаменателя первой дроби и проведем сокращение:

$\frac{2b^2}{(a-b)(a+b)} \cdot \frac{(a+b)^2}{2b^2} = \frac{\cancel{2b^2}}{(a-b)\cancel{(a+b)}} \cdot \frac{(a+b)^{\cancel{2}}}{\cancel{2b^2}} = \frac{a+b}{a-b}$.

Мы упростили исходное выражение до $\frac{a+b}{a-b}$. Теперь подставим в него заданные значения $a = -0,2$ и $b = 0,3$:

$\frac{a+b}{a-b} = \frac{-0,2 + 0,3}{-0,2 - 0,3} = \frac{0,1}{-0,5}$.

Вычислим окончательное значение:

$\frac{0,1}{-0,5} = -\frac{1}{5} = -0,2$.

Ответ: -0,2.