Номер 1, страница 150, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Что такое числовая последовательность?

Числовая последовательность — это упорядоченный набор чисел, в котором каждому натуральному числу $n$ (называемому индексом или номером) поставлено в соответствие некоторое действительное число $a_n$ (называемое членом последовательности).

Более строго, числовая последовательность представляет собой функцию $y = f(n)$, определённую на множестве натуральных чисел $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$. Значение функции $f(n)$ для натурального числа $n$ называют $n$-м членом последовательности и обозначают как $a_n$. Таким образом, $a_n = f(n)$.

Саму последовательность принято обозначать в виде перечисления её членов: $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots$ или с помощью скобок: $(a_n)$ или $\{a_n\}$.

Например, последовательность чётных натуральных чисел $2, 4, 6, 8, \dots$, где $a_1=2, a_2=4, a_3=6$ и так далее. Или последовательность чисел, обратных натуральным: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$, где $a_1=1, a_2=\frac{1}{2}, a_3=\frac{1}{3}$.

Существует несколько способов задания последовательности:

1. Аналитический способ. Последовательность задаётся формулой $n$-го члена, которая позволяет вычислить любой член последовательности по его номеру $n$.
Пример: Последовательность $a_n = n^2 + 1$. По этой формуле можно найти любой член: $a_1 = 1^2 + 1 = 2$, $a_2 = 2^2 + 1 = 5$, $a_{10} = 10^2 + 1 = 101$, и так далее. Последовательность имеет вид: $2, 5, 10, 17, \dots$

2. Рекуррентный способ. Задаётся формула, позволяющая вычислить каждый следующий член последовательности через один или несколько предыдущих. При этом необходимо задать один или несколько первых членов.
Пример: Последовательность Фибоначчи. $a_1 = 1$, $a_2 = 1$, и $a_{n} = a_{n-1} + a_{n-2}$ для всех $n > 2$. Чтобы найти $a_3$, нужно сложить $a_1$ и $a_2$: $a_3 = 1 + 1 = 2$. Чтобы найти $a_4$, нужно сложить $a_2$ и $a_3$: $a_4 = 1 + 2 = 3$. Последовательность имеет вид: $1, 1, 2, 3, 5, 8, \dots$

3. Словесный способ. Последовательность описывается словами, без явного указания формулы.
Пример: Последовательность простых чисел. Первый член — 2, второй — 3, третий — 5, и так далее. Последовательность имеет вид: $2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots$

Последовательности могут быть конечными (если количество её членов ограничено) и бесконечными (если количество её членов не ограничено). В математическом анализе чаще всего рассматриваются бесконечные числовые последовательности.

Ответ: Числовая последовательность — это функция, определённая на множестве натуральных чисел. Иными словами, это занумерованный ряд чисел, где каждому номеру (натуральному числу) соответствует ровно одно число (член последовательности).