Номер 5, страница 140, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

5. Является ли функция $y = \sqrt[3]{x}$ возрастающей; убывающей; монотонной; немонотонной?

Для того чтобы определить характер монотонности функции $y = \sqrt[3]{x}$, проанализируем ее на всей области определения, которой является множество всех действительных чисел $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Наиболее удобный способ для этого — исследование знака ее производной.

Представим функцию в виде степенной: $y = x^{1/3}$.

Найдем производную функции $y(x)$:

$y' = (x^{1/3})' = \frac{1}{3}x^{1/3 - 1} = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

Производная определена для всех $x$, кроме $x=0$.

Проанализируем знак производной. Знаменатель дроби $3\sqrt[3]{x^2}$ содержит выражение $x^2$, которое всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$). Следовательно, и кубический корень из него $\sqrt[3]{x^2}$ также неотрицателен. Таким образом, для любого $x \neq 0$ знаменатель $3\sqrt[3]{x^2}$ строго положителен.

Поскольку производная $y' > 0$ при всех $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, функция возрастает на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Учитывая, что сама функция $y = \sqrt[3]{x}$ непрерывна в точке $x=0$, можно сделать вывод, что она является возрастающей на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$.

Теперь ответим на поставленные вопросы.

возрастающей:Да, функция является возрастающей на всей области определения. Это следует из того, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из области определения таких, что $x_2 > x_1$, всегда выполняется неравенство $\sqrt[3]{x_2} > \sqrt[3]{x_1}$.
Ответ: да.

убывающей:Нет, функция не является убывающей. Поскольку она строго возрастает на всей области определения, она не может быть убывающей.
Ответ: нет.

монотонной:Да, функция является монотонной. Монотонной называют функцию, которая на всей области определения является либо возрастающей, либо убывающей. Так как функция $y = \sqrt[3]{x}$ является возрастающей, она, по определению, монотонна.
Ответ: да.

немонотонной:Нет, функция не является немонотонной. Немонотонная функция имеет участки как возрастания, так и убывания. Данная функция только возрастает.
Ответ: нет.