Номер 13, страница 133, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

13. Какое из утверждений верно:

а) функция $y = x^{-(2n-1)}$, $n \in N$, возрастает при $x > 0$ и убывает при $x < 0;

б) функция $y = x^{-(2n-1)}$, $n \in N$, возрастает при $x > 0$ и возрастает при $x < 0;

в) функция $y = x^{-(2n-1)}$, $n \in N$, убывает при $x > 0$ и убывает при $x < 0;

г) функция $y = x^{-(2n-1)}$, $n \in N$, убывает при $x > 0$ и возрастает при $x < 0?

Для того чтобы определить, на каких промежутках функция $y = x^{-(2n-1)}$, где $n \in \mathbb{N}$, возрастает или убывает, необходимо исследовать знак ее производной.

Сначала проанализируем саму функцию. Показатель степени $k = -(2n-1)$. Поскольку $n$ является натуральным числом ($n=1, 2, 3, \dots$), выражение $2n-1$ представляет собой последовательность нечетных натуральных чисел ($1, 3, 5, \dots$). Следовательно, показатель степени $k = -(2n-1)$ является отрицательным нечетным целым числом. Примерами таких функций являются $y=x^{-1}=\frac{1}{x}$, $y=x^{-3}=\frac{1}{x^3}$ и так далее.

Найдем производную функции $y = x^{-(2n-1)}$ по степенному правилу дифференцирования $(x^a)' = ax^{a-1}$:
$y' = \frac{d}{dx}(x^{-(2n-1)}) = -(2n-1) \cdot x^{-(2n-1)-1} = -(2n-1)x^{-2n}$

Запишем производную в более удобном для анализа виде:
$y' = -\frac{2n-1}{x^{2n}}$

Теперь определим знак производной для всех $x$ из области определения функции (то есть для $x \ne 0$):

• Числитель дроби, $2n-1$, является положительным числом, так как $n \ge 1$. Соответственно, выражение $-(2n-1)$ всегда отрицательно.
• Знаменатель дроби, $x^{2n} = (x^2)^n$, всегда положителен при любом ненулевом значении $x$, так как любое действительное число, отличное от нуля, в четной степени ($2n$) будет положительным.

Таким образом, производная $y'$ представляет собой частное от деления отрицательного числа $-(2n-1)$ на положительное число $x^{2n}$. Это означает, что $y' < 0$ для всех $x \ne 0$.

Согласно правилу, если производная функции на некотором интервале отрицательна, то функция на этом интервале убывает. Поскольку $y' < 0$ как при $x > 0$, так и при $x < 0$, функция $y = x^{-(2n-1)}$ является убывающей на обоих интервалах своей области определения: $(-\infty, 0)$ и $(0, \infty)$.

Сравнивая этот результат с предложенными вариантами, мы видим, что верным является утверждение в).

Ответ: в) функция $y = x^{-(2n-1)}, n \in \mathbb{N}$, убывает при $x > 0$ и убывает при $x < 0$;